Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse

 Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces:

integral de resta de funciones
representa el área de la superficie que encierra las dos curvas.

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:
  1. Se trazan las curvas.
  2. Se señalan los puntos en que se cortan las curvas.
  3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
  4. Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados

Ejemplo

Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x² y g(x) = x.

Resolución

Trazado de curvas
  1. Cortes de f(x) con el eje de abscisas: 4x - x² = 0, obtenemos resolviendo la ecuación los valores x = 0 y x = 4, es decir, los puntos de corte son: (0, 0) y (4, 0).
  2. Máximos y mínimos de f(x): f'(x) = 4 - 2x = 0 => x = 2 → Punto (2, 4). f''(x) = -2 <0 => máximo en (2, 4).
Puntos de corte entre las dos curvas

4x - x² = x => 3x - x² = 0, obtenemos los valores x = 0, x = 3, por lo que los puntos de corte son los puntos (0, 0) y (3, 3).

Representación gráfica y cálculo del área

La representación gráfica es:

Gráfica de dos funciones para calcular su área

Por tanto, su área se calculará:

área entre dos funciones
Su valor es:

[4x²/2 - x³/3]₀³ = [4·3²/2 - 3³/3] - 0 = 9/2

El área también se podría haber calculado así:

alternativa para el cálculo del área








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