Cálculo del área de un círculo

 Vamos a suponer una circunferencia de centro (0, 0) y radio r (para simplificar cálculos).

x² + y² = r² => y ±√(r² - x²)

Para una mayor comodidad, y sin que ello afecte a la resolución del problema, se calculará el área del cuarto del círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de circunferencia en el primer cuadrante es y = √(r²-x²) pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho, podemos deducir que el área del círculo es:

Para resolver esta integral, se hace el cambio de variable:

x = rsent, dx = r·cos t dt

Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:

• Si x = 0, r·sent = 0. Como r ≠ 0, sen t = 0 => t = 0.
• Si x = r, r = r·sen t => sen t = 1 => t = 𝜋/2

Así pues, el área se puede calcular:

Recordando que cos²t = 1 - sen²t y que cos²t = (1 + cos 2t)/2, obtenemos, tras sustituir y operar:

Realizando la integral y calculando los valores con los límites de integración, obtenemos que el área es efectivamente 𝜋r².