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 Las ecuaciones paramétricas nos dan las rectas que pasan por un punto P(x₁, y₁, z₁), y según la ecuación normal: x = x₁ + 𝜆p y = y₁ + 𝜆q z = z₁ + 𝜆r (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z-z₁)/r Expresado en función de los cosenos directores: (x-x₁)/cos 𝛼 =  (y-y₁)/cos 𝛽 =  (z-z₁)/cos 𝛾 Para la forma ordinaria: x = az + h y = bz + k Dado un punto P(x₁, y₁, z₁) de la recta: x₁ = az₁ + h y₁ = bz₁ + k Si eliminamos h y k: x - x₁ = a(z - z₁) y - y₁ = b(z - z₁) (x - x₁)/a =  (y - y₁)/b = (z- z₁)/1 (R1) donde a y b representan los coeficientes angulares de las proyecciones de la recta sobre los planos xz e yz. Como a y b son parámetros variables, el sistema representará una radiación con centro en el punto P₁(x₁, y₁, z₁). Si tenemos otro punto P₂(x₂, y₂, z₂) que también pertenece a la recta: (x₂ - x₁)/a =  (y₂ - y₁)/b =  (z₂ - z₁)/1  (R2) Si dividimos cada uno de los miembros de la ecuaci

 Dadas las ecuaciones paramétricas de la recta: x = x₁ + p𝜌 y = y₁ + q𝜌 z = z₁ + r𝜌 tenemos seis coeficientes: x₁, y₁, z₁, p, q, r; o bien se determinan por dos puntos fijos: x = (x₁ + 𝜆x₂)/(1 + 𝜆) y = (y₁ + 𝜆y₂)/(1 + 𝜆) z = (z₁ + 𝜆z₂)/(1 + 𝜆) obtendremos x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ En el primer caso se determinan por un punto y una dirección, y en el segundo, por dos puntos. Como una condición en el espacio da lugar a tres ecuaciones, para determinar los seis coeficientes necesitamos dos condiciones geométricas. Si consideramos la forma ordinaria x = az + h y = bz + k tendremos sólo cuatro indeterminadas a, b, h, k y como en este caso con una condición geométrica dada nos dará dos ecuaciones, necesitamos dos ecuaciones para determinar la recta. Para una recta dada en forma normal podemos definirla por la traza sobre un plano coordenado y los parámetros directores; p, q, r o los cosenos directores correspondientes. Tenemos entonces cuatro coeficientes, dos coordenadas no nulas de l

 Dados tres planos: Q = 0 Q' = 0 Q'' = 0 Por combinación lineal de Q y Q' obtenemos, siendo 𝜆 un parámetro variable del haz de planos cuya arista es la intersección de Q y Q' mediante la ecuación: Q + 𝜆Q' = 0 Si Q y Q' son paralelos, tendremos un haz de planos paralelos. Análogamente, si 𝜆 y 𝜇 son parámetros variables, la ecuación Q + 𝜆Q' + 𝜇Q'' = 0 representa una doble infinidad de planos que pasan por el punto de intersección de los tres planos Q = 0, Q' = 0, Q'' = 0, es decir, tenemos una radiación de centro en el punto común  a Q, Q', Q''. Si los tres planos son paralelos a la misma recta, este punto es impropio.

 Veamos algunos ejemplos del cálculo de volúmenes y áreas en el espacio afín. Volumen de un tetraedro Sean los vértices: A(x₁, y₁, z₁) B(x₂, y₂, z₂) C(x₃, y₃, z₃) D(x₄, y₄, z₄) El volumen, siendo los ejes rectangulares, vendrá dado por: o lo que es lo mismo: Área de un triángulo Sean los vértices: P₁(x₁, y₁, z₁) P₂(x₂, y₂, z₂) P₃(x₃, y₃, z₃) El área de los ejes rectangulares será igual a la mitad de la raíz cuadrada de la siguiente expresión :

 Dado el plano que viene definido por la ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0 o bien, por la forma hessiana: xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - 𝜌 = 0 en ejes rectangulares tendremos que: cos² 𝛼 + cos² 𝛽 + cos² 𝛾 = 1 cos 𝛼/A =  cos 𝛽/B =  cos 𝛾/C =  - 𝜌/D = 1/±√(A²+B²+C²) y con ello podemos calcular los cosenos directores de la normal del plano: cos 𝛼 = A /±√(A²+B²+C²) cos 𝛽 = B /±√(A²+B²+C²) cos 𝛾 = C /±√(A²+B²+C²) y también la distancia del origen al plano: -𝜌 =   D /±√(A²+B²+C²) Por lo tanto, la forma hessiana o ecuación normal del plano dado por Ax + By + Cz + D = 0 será: (Ax + By + Cz + D)/ ±√(A²+B²+C²) = 0

 Veamos los casos particulares más usuales. Ecuación homogénea Si empleamos las razones x/t, y/t, z/t o bien x₁/x₄, x₂/x₄, x₃/x₄ obtenemos una ecuación lineal homogénea operando: Ax₁ + Bx₂ + Cx₃ + Dx₄ = 0 donde x₁, x₂, x₃, x₄ son las coordenadas homogéneas. Ecuaciones de los planos coordenados Plano 0yz: x = 0 Plano 0xz: y = 0 Plano 0xy: z = 0 estos planos coordenados con el plano del infinito forman el tetraedro fundamental. Ecuación de un plano que pasa por el origen Ax + By + Cz = 0 Ecuaciones de los planos que son paralelos a los ejes Paralelo al eje 0z: Ax + By + D = 0 Paralelo al eje 0y: Ax + Cz + D = 0 Paralelo al eje 0x: By + Cz + D = 0 Ecuaciones de los planos que pasan por los ejes Plano que pasa por el eje 0z: Ax + By = 0 Plano que pasa por el eje 0y: Ax + Cz = 0 Plano que pasa por el eje 0x: By + Cz = 0 Ecuaciones de los planos paralelos a los coordenados Plano paralelo al eje 0yz: Ax + D = 0 Plano paralelo al eje 0xz: By + D = 0 Plano paralelo al eje 0xy: Cz + D = 0

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior . Ejemplo 1 Dados los puntos A(-2, 1, 5), B(3, 1, 1), C(2, 2, 0) tenemos que determinar la ecuación del plano que pasa por estos tres grupos. La ecuación vendrá dada por el determinante: Si desarrollamos el determinante, tenemos: que es igual a: 4x + 6y + 8z -26 = 0 Ejemplo 2 Sea la recta r de ecuaciones paramétricas x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = 1 + 2t y el punto P(0, -1, 2). Tenemos que determinar al ecuación del plano que definen r y P. Considerando un punto de la recta, por ejemplo, el correspondiente a t = 0. es decir, el P₁(2, 1, 1), el vector P₁P tiene por componentes (2, 2, -1), por tanto las ecuaciones del plano serán: x = 2 + 2s + 3t y = 1 +2t + 2s z = 1 - 1s + 2t Ejemplo 3 Dadas las rectas r y q, tal que la recta r es igual a x = 1 + t y = 2 - t z = t y la recta q es igual a x = 1 + t y = t z = t que se cortan en el punto (2, 1, 1), tenemos que hallar la ecuación del plano determinado por ellas. Por ser P(x₀, y₀, z₀

 Veamos otras formas de representar el plano. Ecuación ordinaria del plano Si partimos de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 y hacemos explícita la z: z = (-A/C)x -(B/C)y - D/C tenemos la ecuación ordinaria ( z = mx + ny + h ) que permite obtener secciones planas de las superficies por la fácil eliminación de z. Ecuación del plano en función de los segmentos que intercepta en los ejes Dada la ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0 vamos a determinar los segmentos que intercepta: Con el eje x, tenemos: y = 0 z = 0 Aa + D = 0, por lo que A = -D/a Con el eje y: x = 0 z = 0 Bb + D = 0, por lo que B = -D/b Con el eje z: x = 0 y = 0 Cc + D = 0, por lo que C = -D/c Si sustituimos en la ecuación general los valores que hemos obtenido para A, B, C: x/a + y/b + z/c = 1 , que es la ecuación canónica. Forma hessiana de la ecuación del plano Se obtiene en función de la longitud d de la perpendicular trazada desde el origen del plano y de los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 que forma esta perpendicular al plano co

 De acuerdo con las ecuaciones anteriores, podemos escribir llamando a: S = 1 + 𝜆 + 𝜇 Sx = x₁ + 𝜆x₂ + 𝜇x₃ Sy = y₁ + 𝜆y₂ + 𝜇y₃ Sz = z₁ + 𝜆z₂ + 𝜇z₃ de modo que un punto P pertenecerá al plano que contiene a P₁, P₂, P₃ si este sistema es compatible, es decir: este determinante representa la ecuación del plano y desarrollándola por los elementos de la primera fila tenemos: Ax + By + Cz + D = 0 (forma general de la ecuación del plano) Si un punto se mueve por el espacio de forma que sus coordenadas satisfacen siempre una ecuación lineal, dicho punto describe un plano determinado. Si tenemos 4 puntos que verifican la ecuación anterior, entonces es que están en un plano. Por ejemplo, para los puntos: P₁(x₁, y₁, z₁) P₂(x₂, y₂, z₂) P₃(x₃, y₃, z₃) P₄(x₄, y₄, z₄) Tendremos el sistema lineal homogéneo: Ax₁ + By₁ +Cz₁ + D = 0 Ax₂ + By₂ +Cz₂ + D = 0 Ax₃ + By₃ +Cz₃ + D = 0 Ax₄ + By₄ +Cz₄ + D = 0 siendo A, B, C, D no nulos:

 El plano en el espacio afín viene representado como un sistema lineal con dos parámetros o bien mediante una ecuación lineal de tres variables. Ecuaciones paramétricas Dados unos ejes 0(xyz) consideramos un plano 𝜋 y un punto de éste P(x, y, z) referido a dichos ejes. En el plano 𝜋 trazamos dos nuevos ejes 0'X, 0'Y y un eje 0'Z', que pase por el punto 0', tal que el punto P tenga unas coordenadas nuevas: x' = u y' = v z' = 0 De acuerdo con las ecuaciones de la transformación general: x = X·(cos Xx')/(cos xx') + Y(cos Yx')/(cos xx') + Z(cos Zx')/(cos xx') + a y = X·(cos Xy')/(cos yy') + Y(cos Yy')/(cos yy') + Z(cos Zy')/(cos yy') + b z = X·(cos Xz')/(cos zz') + Y(cos Yz')/(cos zz') + Z(cos Zz')/(cos zz') + c tendremos: x = a₁u + b₁v + a y = a₂u + b₂v + b z = a₃u + b₃v + c que son las ecuaciones p

 Para representar una recta, se emplean generalmente las ecuaciones en la forma ordinaria: x = az +h y = bz + k Si pasamos a la ecuación en la forma normal: (x - h)/a = (y-k)/b = (z-0)/1 donde: (h, k, 0) es un punto de la recta => h y k son las dos primeras coordenadas de la traza de la recta sobre el plano xy. a y b son los coeficientes angulares de las proyecciones de la recta sobre los planos xz, yz. Si a la recta dada se le traza una paralela por el origen: x = az y = bz y tomamos un segmento OM = l (𝛼, ꞵ, 𝛾 son los ángulos que forman los ejes con la recta) x₁ = l cos 𝛼 x₂ = l cos ꞵ x₃ = l cos 𝛾 y como M es un punto de la recta M(x₁, y₁, z₁), sustituyendo: l cos 𝛼 = al cos 𝛾 l cos ꞵ = bl cos 𝛾 de donde: cos 𝛼 = a cos 𝛾 cos ꞵ = b cos 𝛾 cos 𝛾 = cos 𝛾 Si ahora elevamos al cuadrado y sumamos: cos² 𝛼 + cos² ꞵ + cos² 𝛾 = a²cos² 𝛾 + b²cos² 𝛾 + cos² 𝛾 = 1  = (a² + b² + 1)·cos² 𝛾 de donde obtenemos: cos 𝛼 = ± a/√(a² + b² + 1) cos 𝛽 = ± b/√(a² + b² + 1) cos 𝛾 = ± 1/√(

 Veamos algunos ejemplos de representación de la recta. Si necesitas repasar, puedes revisar las entradas relacionadas con el tema, en la primera parte de formas de representar una recta, y su segunda parte . Ejemplo 1 Dada la recta (x-1)/2 = (y+2)/3=(z-3)/-1. tenemos que pasarla a la ecuación en forma ordinaria. Solución Si igualamos las dos ecuaciones: x - 1 = -2z + 6 y+2 = -3z + 9 Por lo tanto, las ecuaciones en forma ordinaria son: x = -2z + 7 y = -3z +7 Ejemplo 2 Dada la recta en ecuación reducida u ordinaria: x = 3y + 1 z = 2y - 5 tenemos que pasarla a la forma continua o normal. Solución Si despejamos y en las dos ecuaciones e igualando: y = (x - 1)/3 y = (z+5)/2 entonces la ecuación en forma continua es: (x -1)/3 = y/1 = (z+5)/2 Ejemplo 3 Obtener la ecuación de recta que pasa por los puntos A(3, 1, 2) y B(-2, 4, -1). Solución Ambos puntos deben verificar la ecuación; luego si lo expresamos en forma continua. (x -3)/(-2-3) = (y-1)/(4-1) = (z - 2)/(-1-2) Por lo tanto, tenemos: (x

 Más formas de representar la recta, continuación de los casos explicados en la entrada anterior. Ecuación homogénea Si empleamos las razones: x/t, y/t, z/t o bien expresadas como: x₁/x₄, x₂/x₄, x₃/x₄ Tendríamos el sistema lineal homogéneo: Ax₁ + Bx₂ + Cx₃ + Dx₄ = 0 A'x₁ + B'x₂ + C'x₃ + D'x₄ = 0 donde x₁, x₂, x₃, x₄ son las coordenadas homogéneas de un punto. Casos particulares Ecuaciones de los ejes coordenados: OX≡{y = 0, z = 0}, OY = {z = 0, x = 0}, OZ = {x=0, y = 0} Una recta paralela a un plano coordenado, por ejemplo, el xy, queda definida por: z = c, y = mx +n. Si es paralela al eje OX, tenemos y = b, z = c. Si la recta pasa por el origen, la recta quedará definida por sistemas homogéneos en x, y, z.

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la

 La recta se representa en el espacio por un sistema lineal de dos ecuaciones.  Dados un punto fijo y una dirección Sea un punto fijo A(x₁, y₁, z₁) y una dirección 𝛿, se determinará una recta si trazados desde el origen la paralela a la recta que pasa por el origen pasa por dicho punto fijo A y sobre ella tomamos el punto D(p, q, r). Todo punto variable de la recta M(x, y, z) se determina por un parámetro: 𝜌 = AM / OD Si consideramos las proyecciones: proy(AM)/proy(OD) = AM / OD = 𝜌 y despejamos: proy(AM) = 𝜌·proy(OD) proy(OM) = proy(OA) + proy(AM) = proy(OA) + proy(OD)𝜌 Por lo que referimos a las proyecciones de los ejes coordenados: x = x₁ + p·𝜌 y = y₁ + q·𝜌 z = z₁ + r·𝜌 Siendo pqr los cosenos directores de la recta, parámetros de proyección sobre los ejes. En caso de ser los ejes coordenados rectangulares, estos parámetros son los cosenos directores de la recta, si la distancia OD = 1. Dados dos puntos fijos