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 Suma de sucesiones Se define la suma de sucesiones aₙ y bₙ como la sucesión definida por aₙ + bₙ, cuyos términos son la suma de cada uno de las sucesiones. Ejemplo Hallar la sucesión suma aₙ + bₙ, siendo: aₙ = (n + 1)/n  y  bₙ = (n² - 3)/(n - 1) Hallando la suma de los términos generales de las dos sucesiones, obtenemos el término general de la sucesión suma. aₙ + bₙ =  (n + 1)/n +  (n² - 3)/(n - 1) Tras obtener el común denominador, en este caso n·(n - 1), y simplificando, tenemos: aₙ + bₙ = (n³ + n² -3n - 1)/(n·(n - 1)) Los primeros términos de esta sucesión serán: -1, 4/3, 13/6, 67/20.... Resta de sucesiones Definimos la resta de dos sucesiones aₙ y bₙ, como una sucesión dada por aₙ - bₙ donde cada miembro es la resta de los términos de cada una de las sucesiones. Ejemplo Calcular la sucesión resta de las sucesiones: aₙ = (n - 1)/n y  bₙ = (n³ - n² + 3)/n² El término general de la sucesió

 Dada una sucesión cualquiera Sₙ, llamamos subsucesión de ésta a un subconjunto de infinitos términos de Sₙ. Ejemplos Dada una sucesión definida por el término general aₙ, entonces se tiene que el conjunto de los términos pares a 2n es una subsucesión. Igual ocurre para los términos impares, es decir, la sucesión a 2n-1 es una subsucesión de aₙ. Dada una sucesión definida por su término general aₙ = (-1)ⁿ·n/(n² + 1), tenemos que determinar una subsucesión de ésta. Los primeros términos de esta subsucesión serán: a₁ = -1/2, a₂ = 2/5, a₃ = -3/10, .... una subsucesión de ésta sería, por ejemplo, tomar todos los términos que son negativos, que en este caso coinciden con los términos impares (-1/2, -3/10...)

 Toda sucesión está determinada cuando conocemos todos sus términos. Seguidamente vamos a ver varias formas de determinar una sucesión. Por una propiedad común a todos sus términos Por ejemplo, expresar la sucesión de los números pares. Los términos de esta sucesión serán los números pares ordenados de menor a mayor, es decir, 2, 4, 6, 8.... Otro ejemplo, expresar la sucesión de los números primos mayores que 9. El primer término de la sucesión es el 11, ya que el 10 no es un número primo. Los siguientes términos serán los números primos a partir del 11, ordenados de menor a mayor, o sea, 11, 13, 17, 19, 23... Por una expresión matemática Por ejemplo, expresar los primeros términos de la sucesión cuyo término general es aₙ = 1/n. La solución es: a₁ = 1/1, a₂ = 1/2, a₃ = 1/3 .... Es la forma más usual de definir una sucesión, ya que conocido el término general, podemos hallar todos los términos de dicha sucesión. Algunas veces, se

 Dos sucesiones de números reales definidas por aₙ y bₙ son iguales para cuando para todo i se tiene que aᵢ = bᵢ, siendo i = 1, 2, 3,...., n,... Ejemplos Dadas las sucesiones definidas por: aₙ = n² - 2n + 1  bₙ = (n - 1)² tenemos que comprobar que son iguales. Escribimos los términos de ambas soluciones: a₁ = 1 -2 +1 = 0, a₂ = 4 - 4 + 1 = 1, a₃ = 9 - 6 + 1 = 4 ... b₁ = (1 -1)² = 0, b₂ = (2 - 1)² = 1, b₃ = (3 - 1)² = 4,... Comparando cada uno de los términos, se verifica efectivamente que son iguales. Comprobar si son iguales o no, las sucesiones cuyos primeros términos son: a₁ = 1, a₂ = 3/2, a₃ = 3, a₄ = 5/4 ... b₁ = 1, b₂ = 2/3, b₃ = 3, b₄ = 4/5... Si comparamos término a término vemos que existen términos que no son iguales. Por tanto, no se da la igualdad entre ambas sucesiones. Dadas dos sucesiones cualesquiera, es suficiente con que tengan un solo término diferente para afirmar que no son iguales.

 En el lenguaje corriente, la palabra sucesión se utiliza para designar un conjunto de cosas o sucesos en un orden. Llamamos sucesión de números reales a toda aplicación de N* = N - {0} en R. Así, a cada número natural N, le hacemos corresponder un número real Sₙ, de tal manera que el conjunto ordenado: S₁, S₂,..., Sₙ,... define una sucesión infinita. Cada término de la sucesión tiene asignado un número natural de manera que se puede hablar del primer término S₁, del segundo término S₂... Cada término Sₙ tiene un siguiente, S n+1 , y por tanto, no existe el último término. Ejemplos 1. Calcular los primeros términos de la sucesión dada por Sₙ = n. Los términos serán S₁ = 1, S₂ = 2, S₃ = 3, ... 2. Hallar los primeros términos de la sucesión definida por Sₙ = (n² + 1)/n Los términos serán: S₁ = 2, S₂ = 5/2, S₃ = 10/3, ... NOTA: Diremos que una sucesión es constante cuando todos sus términos son iguales.

 Llamamos entorno de un punto x de radio 𝜀 al conjunto de puntos, que están a una distancia x menor que 𝜀. Lo expresamos del modo siguiente: E = (x,  𝜀) = {y ∈ R | |x - y| <  𝜀} = {y ∈ R | x -  𝜀 < y < x +  𝜀} también lo podemos expresar como: E(x, 𝜀) = (x - 𝜀, x + 𝜀) Esta definición ya ha sido explicada en la anterior entrada . Ejemplos 1. Tenemos que determinar el entorno (0, 2). Por la definición vista anteriormente: E(0, 2) = {y R | |y| < 2} = {y ∈ R | -2 < y < 2} = (-2, 2) 2. Averiguar si los puntos y = -1, y = +2, y = 5 pertenecen al entorno E(1, 3). Primero determinamos cuál es el E(1, 3). E(1, 3) = {y ∈ R | |y - 1| < 3} = {y ∈ R | -2 < y < 4} por tanto se verifica que: -1 ∈ E(1, 3) 2 ∈ E(1, 3) pero el punto y = 5 no pertenece a dicho entorno ya que la distancia de este punto al 1 es 4, que es mayor que el radio del entorno.

 Esta entrada es un recordatorio de lo ya visto y explicado en esta entrada Intervalo cerrado Dados dos números reales a y b; a ≠ b, llamamos intervalo cerrado de extremos y lo expresamos por [a, b] el conjunto de números reales x que verifican a ≤ x ≤ b. Es decir: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Intervalo abierto Dados dos números reales a y b siendo, siendo a  ≤ b, llamamos intervalo abierto de extremos a y b y lo expresamos por (a, b), al conjunto de números reales x tal que a < x < b. Es decir: (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} Intervalo abierto por la derecha Dados dos números reales a y b llamamos intervalos abierto por la derecha de extremos a y b: [a, b) = {x ∈ R | a  ≤ x < b} Intervalo abierto por la izquierda Dados dos números reales a y b, llamamos intervalo abierto por la izquierda de extremos a y b: (a, b] = {x ∈ R | a < x  ≤ b} Ejemplo D

 Definimos el valor absoluto de un número real x y lo expresamos por |x| al elemento de R⁺ = {x R | x ≥ 0} definido como sigue: x, si x ≥ 0 -x si x < 0 Propiedades del valor absoluto Si tenemos un número real y > 0, la expresión |x| ≤ y es equivalente a -y ≤ x≤ y. |x| = |-x| |x + y| ≤ |x| + |y| (tanto si x e y son del mismo signo o no). |x · y| = |x|·|y| ||x| - |y|| ≤ |x - y| ≤ |x| + |y| Tiene algunas más, pero éstas son las más utilizadas. Distancia entre dos puntos Llamamos distancia entre dos puntos x e y de la recta real ℜ y lo expresamos por d(x, y) al número: d(x, y) = |x - y| = |y - x| Por ejemplo, vamos a hallar la distancia entre -1 y 2. d(-1, 2) = |(-1) - 2| = |2 - (-1)| = |3| = 3

 Ejercicio 1 Tenemos que encontrar todas las topologías sobre un conjunto de tres elementos E = {a, b, c}. Decir si existe alguna topología separada. Solución Topología trivial. ℱ = {∅, E} Topología discreta ℱ = P(E) = {∅, E, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}} ℱ₁ = {∅, {a}, E} ℱ'₁' = {∅, {a},{a, b}, E} ℱ'₁''= {∅, {a},{b, c}, E} ℱ'₁'''= {∅, {a},{a, b},{a, c}, E} ℱ'₂= {∅, {a},{b},{a, b}, E} ℱ'₂'= {∅, {a},{b},{a, b},{a , c} E} Sólo es topología separada la discreta. Para todo par de elementos ∈ E a, b a ≠ b, existe entonces E a y E b tales que E a ∩ E b = ∅. Ejercicio 2 Sean A y B dos subconjuntos de E. A es un conjunto abierto. Probar que A∩ B ⊂ A∩B . Si A no es abierto, ¿es cierta la propiedad? Comprobar si se cumple en el caso de E = R conjunto de los números reale

 Bola abierta Al igual que en el conjunto R, la topología usual era la de abiertos formados por Ai = {x | x ∈ (xᵢ - 𝜖, xᵢ + 𝟄)}. En R² los abiertos son los conjuntos A para los cuales se tiene que para cada punto (x₀, y₀) existe algún 𝜖>0 de forma que el conjunto: c(x₀, y₀, 𝜖) = {(x, y) | (x - x₀)² + (y - y₀)² < 𝜖) está totalmente incluido en A. Cada bola abierta es entorno de todos y cada uno de sus puntos. Un ejemplo de bola abierta, de centro (0, 0) y radio  δ: {(x, y) | x²  + y² < δ²} Bola cerrada Una bola cerrada de centro (0, 0) y radio δ es el conjunto: {(x, y) | x²  + y² ≤ δ²} y es un punto cerrado y es entorno de todos los puntos (x, y) y los que están sobre la circunferencia que los limita.  El conjunto complementario de una bola abierta: {(x, y) | x²  + y² ≥ δ²} es un conjunto cerrado Y el complementario de una bola cerrada: {(x, y) | x²  + y² > δ²} es un conjunto abierto

 Sea Ω un conjunto cualquiera; no hace falta que sea espacio topológico. Un filtro de Ω es una clase ℱ no vacía de subconjuntos de Ω que cumple las siguientes propiedades: ∅ ∈ℱ. Si A ∈ ℱ y A ⊂ℬ⊂Ω, entonces ℬ ∈ℱ. Si A ∈ ℱ  y ℬ ∈ ℱ ⇒ A ∩ ℬ  ∈ℱ Así pues, un filtro en  Ω es una clase de subconjuntos de  Ω. Entre los cuales no está el vacío y que contiene la intersección de dos subconjuntos cualesquiera de la clase y cualquier conjunto que contenga un subconjunto de la clase. Base de filtro En un conjunto cualquiera   Ω de una clase  ℬ no vacía de subconjuntos de  Ω es una base de filtro sobre  Ω cuando se tienen las siguientes propiedades: ∅ ∈ℬ ∀ A, ℬ ∈ ℬ, ∃ h ∈ℬ tal que h ⊂ A ∩ ℬ Si ℬ es una base de filtro sobre  Ω entonces la clase  ℱ = {A | ∃ ℬ ∈ℬ, ℬ ⊂ A}, es un filtro sobre  Ω. Dos bases de filtro sobre  Ω se dicen equivalentes si engendran el mismo filtro.

 Punto aislado Un punto a ∈ A, siendo A un subconjunto de un espacio topológico, se dice aislado si no es de acumulación de A (a ∉ A'). Para cada punto aislado podemos encontrar un entorno Eₙ tal que Eₙ∩ A = {a} El conjunto de puntos aislados de A se llama aislado de A y se suele representar por ais A. Si Ω es un espacio topológico separado en un conjunto finito incluido en Ω, todos sus puntos son aislados pero el razonamiento recíproco no tiene que ser cierto. El aislado de A: A - A' Punto interior Un punto x se dice interior a un conjunto E, si E es entorno de x. El conjunto de los puntos interiores se llama interior de E. El conjunto interior es la unión de todos los abiertos contenidos en él. Podemos decir que un conjunto abierto coincide con su interior. Punto exterior Un punto x se dice exterior a un conjunto E si es interior a su complementario, es decir,

 En todo espacio topológico , el operador clausura es la aplicación 𝜌(Ω) (clase de los subconjuntos de Ω), tal que a cada subconjunto A de Ω A ∈ 𝜌(Ω), se le asocia un subconjunto A ⊂ Ω. A → A B → B Ω  →  Ω ∅  →  ∅ Propiedades ∅ = ∅ y Ω = Ω A⊂ A A∪B = A ∪ B ( A ) = A (Idempotencia) A de cualquier conjunto A es siempre un conjunto cerrado.

 Punto de acumulación Sea E un subconjunto de espacio topológico Ω y un punto a Ω, se dice que es un punto de acumulación de E si ∀ abierto A ⊂ Ω, que incluye el punto a si existe algún otro punto b, distinto de a, tal que b ∈ E. El conjunto de los puntos de acumulación se llama conjunto derivado de E y se escribe E'. Los conjuntos derivados verifican: (A∪B)' = A'∪B' Si A ⊂ B ⇒ A' ⊂ B' (A∩B)' = A'∩B' Punto adherente En un espacio topológico Ω, un punto a Ω es un punto adherente de un subconjunto E ⊂ Ω si pertenece a E o bien es punto de acumulación de E. Se dice que a ∈ Ω, es un punto adherente, si todo entorno de a tiene una intersección no vacía con E, o sea, si todo entorno de a contiene algún punto de E. El conjunto de puntos adherentes de un conjunto E se llama adherencia cierre o clausura de E, y se representa por  E . El cierre, cla

 Definición de entorno En un espacio topológico (Ω, ℱ), E se dice que es un entorno de un punto a ∈ E si existe un  abierto A ∈ ℱ tal que: a ∈A ⊂ E o sea, existe un abierto intermedio si además E ∈ ℱ se dice que el entorno es abierto. Todo conjunto abierto es entorno de cualquiera de sus puntos. Así, por ejemplo, en la topología de la recta real: (a, b) es entorno de cualquiera de sus puntos. [a, b] es entorno de cualquiera de sus puntos, excepto de los extremos. Propiedades de los entornos Para todo punto de a ∈ E tenemos las siguientes propiedades: Para todo entorno E del punto a; a E. Si E es entorno de a y E⊂E₁ ⇒ E₁ es entorno de a. Si E₁ y E₂ son entornos de a, también lo es E₁∩E₂. ∀ E de a se puede encontrar un entorno E₁ de tal que E es entorno de cualquier punto de E₁. Separación. Dos puntos distintos pueden separarse mediante entorn