Filtros y límites

 Sea Ω un conjunto cualquiera; no hace falta que sea espacio topológico. Un filtro de Ω es una clase ℱ no vacía de subconjuntos de Ω que cumple las siguientes propiedades:

1. ∅ ∈ℱ.
2. Si A ∈ ℱ y A ⊂ℬ⊂Ω, entonces ℬ ∈ℱ.
3. Si A ∈ ℱ  y ℬ ∈ ℱ ⇒ A ∩ ℬ  ∈ℱ

Así pues, un filtro en Ω es una clase de subconjuntos de Ω.

Entre los cuales no está el vacío y que contiene la intersección de dos subconjuntos cualesquiera de la clase y cualquier conjunto que contenga un subconjunto de la clase.

Base de filtro

En un conjunto cualquiera  Ω de una clase ℬ no vacía de subconjuntos de Ω es una base de filtro sobre Ω cuando se tienen las siguientes propiedades:

1. ∅ ∈ℬ
2. ∀ A, ℬ ∈ ℬ, ∃ h ∈ℬ tal que h ⊂ A ∩ ℬ

• Si ℬ es una base de filtro sobre Ω entonces la clase ℱ = {A | ∃ ℬ ∈ℬ, ℬ ⊂ A}, es un filtro sobre Ω.
• Dos bases de filtro sobre Ω se dicen equivalentes si engendran el mismo filtro.
• Una condición necesaria y suficiente para que dos bases de filtro sean equivalentes es que cada conjunto de una esté contenido en el de la otra (y al revés).
• En un conjunto Ω se pueden definir distintos filtros.

En el conjunto de los filtros se puede establecer un orden parcial, mediante la relación de inclusión: ℱ₁≤ℱ₂, ℱ₁<ℱ₂.

Filtros convergentes

Un filtro ℱ sobre un espacio topológico Ω converge al elemento a ∈ Ω si ℱ es más fino que que el filtro formado por los entornos de A, esto es si todo entorno de a pertenece a un filtro ℱ. Análogamente, se habla de que a  ∈ Ω es el límite de una base de filtro ℬ si el filtro de base ℬ converge al elemento a. Por consiguiente si a es el límite de un filtro ℱ₁ es también el límite de cualquier filtro ℱ más fino que ℱ₁.

Llamamos ultrafino sobre Ω a un filtro ℱ que no admite filtros más finos que él. Una condición necesaria y suficiente para que un filtro ℱ converja al elemento  a  ∈ Ω es que todo ultrafino más fino que ℱ converja al punto a.

Punto adherente a una base de filtro

Un elemento a ∈ Ω es adherente a la base de un filtro ℬ sobre Ω si a  ∈ℬ para todo B ∈ ℬ; esto es, si es un punto de acumulación de todo conjunto de la base de filtro.