Ejercicios sobre espacios topológicos

 Ejercicio 1

Tenemos que encontrar todas las topologías sobre un conjunto de tres elementos E = {a, b, c}. Decir si existe alguna topología separada.

Solución

  1. Topología trivial. ℱ = {∅, E}
  2. Topología discreta ℱ = P(E) = {∅, E, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}
  3. ℱ₁ = {∅, {a}, E}
  4. ℱ'₁' = {∅, {a},{a, b}, E}
  5. ℱ'₁''= {∅, {a},{b, c}, E}
  6. ℱ'₁'''= {∅, {a},{a, b},{a, c}, E}
  7. ℱ'₂= {∅, {a},{b},{a, b}, E}
  8. ℱ'₂'= {∅, {a},{b},{a, b},{a , c} E}
Sólo es topología separada la discreta. Para todo par de elementos ∈ E a, b a ≠ b, existe entonces Ea y Eb tales que Ea ∩ Eb = ∅.

Ejercicio 2

Sean A y B dos subconjuntos de E. A es un conjunto abierto.
  1. Probar que A∩B ⊂A∩B. Si A no es abierto, ¿es cierta la propiedad?
  2. Comprobar si se cumple en el caso de E = R conjunto de los números reales A = [0, 1], B = (1,2]
1.

Sea a A∩B

∀ v ∈ E(a) v ∩ A ≠ ∅ y es E(a)

Al ser A un abierto es entorno de a.

v ∩ A  ⊂ B, ya que a ∈ B, es decir, ∀ v ∈ E(a) ⊂ A∩ B

entonces:
a ∈ A∩ B
luego 

A ∩ B ⊂ A∩B
2. No se cumple en el siguiente caso: 
  •  A = [0,1], A∩B = {1} 
  • B = (1,2] A∩B = ∅

Ejercicio 3

Sea el conjunto E formado por los puntos de abscisa entera en el intervalo [-5,3], junto con los puntos de abscisa no entera del intervalo (2,7). Determinar los puntos aislados y los puntos de acumulación de E.

Solución

Puntos aislados, sabemos que son aquellos que perteneciendo a E podemos determinar un entorno reducido que no pertenecen a E.
En este caso, tenemos  que -5,  - 4, -3, -2, -1, 0, 1 son puntos aislados de E pues pertenecen al intervalo [-5, 3] donde solo consideramos los números enteros y por tanto podemos definir un entorno en el cual no tenemos elementos de E.
Puntos de acumulación son aquellos puntos de E en los que si definimos un entorno reducido de dichos puntos, hay puntos de E, así aquellos que forman el intervalo (2, 7).

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