Entornos

 Definición de entorno

En un espacio topológico (Ω, ℱ), E se dice que es un entorno de un punto a ∈ E si existe un  abierto A ∈ ℱ tal que:

a ∈A ⊂ E

o sea, existe un abierto intermedio si además E ∈ ℱ se dice que el entorno es abierto.

Todo conjunto abierto es entorno de cualquiera de sus puntos.

Así, por ejemplo, en la topología de la recta real:

• (a, b) es entorno de cualquiera de sus puntos.
• [a, b] es entorno de cualquiera de sus puntos, excepto de los extremos.

Propiedades de los entornos

Para todo punto de a ∈ E tenemos las siguientes propiedades:

1. Para todo entorno E del punto a; a E.
2. Si E es entorno de a y E⊂E₁ ⇒ E₁ es entorno de a.
3. Si E₁ y E₂ son entornos de a, también lo es E₁∩E₂.
4. ∀ E de a se puede encontrar un entorno E₁ de tal que E es entorno de cualquier punto de E₁.
5. Separación. Dos puntos distintos pueden separarse mediante entornos disyuntos (desunidos, separados) de cada uno de ellos.

Los espacios topológicos que cumplen esta propiedad se dicen separados de tipo Haussdorff y verifican ∀ x ≠ y podemos encontrar un entorno de x, E(x) y un entorno de y, E(y), tales que:

E(x) ∩ E(y) = ∅

Como ejemplo de espacio topológico no separado es cualquier conjunto Ω con la topología trivial.

Espacio regular. Un espacio separado se dice regular  si dado un punto x y un conjunto cerrado A tal que x A, existe un entorno de x y un entorno de A sin punto común:

E(x)∩ A = ∅