Supermatemáticas a tu alcance

 Producto de simetrías axiales Si los ejes de simetría son paralelos. Tenemos entonces una traslación del vector normal a los ejes, módulo igual al doble de la distancia entre ellas y sentido del primer eje al segundo: AB equivalente a A''B'' AA" = AC + CA' + A'C' + C'A" = 2CC' como nos apoyamos en la relación de Möbius, la demostración es válida para cualquier punto del plano. Recíprocamente, toda traslación puede obtenerse de infinidad de maneras como producto de dos simetrías axiales. Si dos ejes de simetría se cortan en un punto O, resultará la transformada equivalente a un giro de centro O y amplitud el doble del ángulo que forman los ejes y sentido del primero al segundo. El producto de simetrías respecto a los ejes perpendiculares es una simetría central respecto del punto de intersección. Producto de una simetría central y otra axial E

 Ecuación vectorial de las simetrías Sea ℓ el eje de simetría, C el punto de corte de ℓ con una perpendicular desde el origen y u el vector unitario sobre ℓ. La ecuación vectorial de ℓ; 𝜌 = c + 𝜆 u , donde c = OC Dado un punto P arbitrario, P' será su simétrico respecto a ℓ: p = OP p' = OP' M es el punto de intersección de PP' con ℓ y OQ = OP + OP': m = OM = (1/2) OQ = (1/2)( p+p' ) m = c + 𝜆 u (1/2)( p+p' ) = c + 𝜆 u p' = 2 c + 2𝜆 u - p pero como pp' = p'-p es perpendicular a  ℓ: (p'-p)·u = 0 entonces si multiplicamos p' = 2 c + 2𝜆 u - p por u, siendo (u)² = 1 y c·u = 0 p'·u = 2𝜆- p·u ⟺ p·u = 𝜆 sustituyendo: p ' = 2 c + 2( p·u ) u - p que es la ecuación de la simetría respecto a  ℓ. Ecuaciones algebraicas Sea x' = - u + 2( x ·𝜏) 𝜏- x ecuación vectorial de la simetría respecto a la recta. Sea x' = x' u₁ + y' u₂ , x =  x u₁ + y u₂ En función del ángulo 𝛼 a = a ·sen  𝛼 u₁ - a ·c

 La simetría axial es la simetría respecto de un eje. Definición Dada una recta ℓ, llamaremos simetría respecto del eje ℓ a la correspondencia por la cual a cada punto P se le hace corresponder un punto P', siendo el eje ℓ la mediatriz del segmento. Propiedades Cualquier punto del eje, cualquier recta perpendicular al eje, el eje mismo y el haz de planos que lo contienen son invariantes. La figura simétrica de una recta es otra recta. Dada una recta r que corta al eje  ℓ y un punto de rP, su simétrico se encuentra en r' (r' es la recta que se encuentra en el cuarto eje y r es la recta que se encuentra en el primer eje de la imagen que se da como ejemplo). P' = s(P) Si consideramos otros puntos Q y E, observamos que: ROR₁ y POP₁ son iguales, R'OR₁ = P'OP₁, y por tanto, R' está en la dirección de OP', que es un segmento de r'. Dos re

 Empezamos con el tema de las simetrías. Simetría central Simetría central respecto a un punto 0 es el movimiento que transforma todo el punto A del plano en A' tal que A, 0 y A' están en la misma recta y el segmento AO sea igual al 0A'. También se puede decir: Llamaremos simetría central con centro O al movimiento que transforma la semirrecta Oᵣ y uno de los semiplanos 𝛼 que su recta limita, en la semirrecta y el semiplano opuestos Oᵣ' y 𝛼'. Dos figuras transformadas  una de otra en esta simetría se llaman simétricas entre sí respecto de 0. Propiedades Aplicando esta transformación dos veces consecutivas, el movimiento resultante es la identidad (ùnico movimiento que transforma 0r y 𝛼 en sí mismos). Los elementos (puntos, rectas...) homólogos en la simetría se corresponden doblemente. La simetría central es un movimiento directo involutivo del plano. Todas las rectas que pasan por

 Dadas las traslaciones 𝜏ₐ y 𝜏ᵦ, el producto de ambas se define: 𝜏ₐ𝜏ᵦ(P) = 𝜏ᵦ[𝜏ₐ(P)] Si: P₂ = 𝜏ₐ(P₁) P₃ = 𝜏ᵦ(P₂) siendo P₁P₂ = a y P₂P₃ = b , tendremos: P₁P₃ = a + b es decir, 𝜏ₐ𝜏ᵦ = 𝜏 a+𝛽 y es una nueva traslación. Dadas las traslaciones: 𝜏ₐ→ a = AA₁ , que transforma P en P₁ tₐ -1 → a = A₁A , que transforma P₁ en P tₐ -1 es la traslación inversa de 𝜏ₐ Si dada la traslación 𝜏ₐ el punto transformado P' coincide con el dado, los puntos de la figura dada coincidirán con los de su transformada. Esa traslación se llama nula o identidad (elemento neutro). El conjunto de las traslaciones del plano forman un grupo abeliano, pues tiene la propiedad asociativa y conmutativa (el producto de las traslaciones es permutable). Como todas las transformaciones de este grupo pertenecen a las del grupo total de movimientos, se dice que constituyen un subgrupo de éste.

 Las características más importantes del producto de correspondencias son: Dadas dos correspondencias f y g tales que el campo de variabilidad de la variable coincide con el de la función, llamaremos producto de f por g ⇔ g·f: g·f = g[f(x)]. El producto de dos correspondencias biunívoca es otra correspondencia biunívoca. Sea f una correspondencia biunívoca y sea i la correspondencia identidad, se verifica: fi = if = f Sean f, g, h tres correspondencias biunívocas, se verifica entonces: h(gf) = (hg)f Podemos afirmar entonces: Se llama grupo de correspondencias o de traslaciones al conjunto de correspondencias biunívocas tales que el producto de dos de ellas y la inversa de cualquiera de ellas pertenecen al conjunto .

 Dado un vector v , se llama traslación en el espacio a la correspondencia por la que a cada punto P(x, y, z) del espacio se le asocia un punto P'(x', y', z') de modo que el vector PP' es equivalente al v . Mediante la traslación de vector, v se transforma en la semirrecta de origen P en la de origen P', y de sentido el mismo que P. Por otra parte, el semiplano 𝛼 queda transformado en sí mismo. Ecuación de la traslación en el espacio Para el espacio sólo tenemos que considerar una componente más: x₂ = x₁ + a y₂ = y₁ + b z₂ = z₁ + c Ejemplo Dada la recta r y el plano 𝜋: r ≡ x/2 = (y+1)/-1 = (z+2)/-3 𝜋 ≡ 3x +2y + 3z -6 = 0 aplicar la traslación: x' = x+1 y' = y-2 z' = z + 2 Para la recta: x = x' - 1 y = y' + 2 z = z' -2 Sustituyendo: (x'-1)/2 = [(y'+2)+1]/-1 = [(z'-2)+2]/-3 r' ≡ (x'-1)/2 = (y'+3)/-1 = z'/-3 que es la ecuación de la recta transformada. Para el plano 𝜋≡3x + 2y + 3z -6 = 0 sustituimos como el ca

 Sea un vector libre v del plano. Se llama traslación a la correspondencia 𝜏, tal que a cada punto P del plano se le asocia un punto P' de modo que el vector PP' es equivalente al v. Al módulo, dirección y sentido del vector v se les llama amplitud, dirección y sentido de la traslación 𝜏ᵥ. Ecuación Dado un sistema de coordenadas métricas de origen 0 y vectores unitarios u₁ y u₂, tenemos los puntos P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) y el vector v(a, b). Si OP₂ = OP₁ + P₁P₂ P₁P₂ = v deducimos que x₂ u₁ + y₂ u₂ = (x₁ u₁ + y₁ u₂ ) + (a u₁ + b u₂ ) entonces, las ecuaciones de la traslación 𝜏ᵥ son: x₂ = x₁ + a y₂ = y₁ + b Propiedades La transformada de un vector es otro equipolente al dado. La transformada de una recta es otra paralela. La transformada de una circunferencia es otra igual a ella, siendo su centro el transformado del centro de la dada mediante 𝜏ᵥ. La transformada de un ángulo será un ángulo congruente con él.

Las principales propiedades son:  Es biyectiva. Es inyectiva. Es suprayectiva. Es lineal, dado que se cumplen los dos axiomas de la linealidad, es decir, f(x+y) = f(x) + f(y); f(ax) = a·f(x). f(a + v ) = f(a) + h( v ) |h( v )| = | v | Ahora veamos las propiedades de los movimientos. Propiedades de los movimientos Mediante los movimientos de las rectas quedan transformadas en rectas, y las rectas paralelas, en rectas paralelas, es decir, f(r) = f(a + v ) = f(a) + h( v ). Los planos se transforman en planos mediante movimientos, y los planos paralelos se transforman en planos paralelos, es decir, f(𝜋) = f(a+ v ) = f(a) + h( v ). En los movimientos, se conservan los ángulos, pues la aplicación lineal asociada al movimiento conserva el producto escalar. La transformación resultante de aplicar dos movimientos, es otro movimiento, y se llama producto de estos movimientos. La transformación inversa de todo movimiento es otro movimiento. El producto de dos movimientos recíprocos es la identid

 Sea f una aplicación del espacio afín euclídeo E, en sí mismo. La aplicación f será una transformación geométrica de E si es una aplicación biyectiva . Dados los puntos P₁ y P₂ del espacio E que verifiquen: f(P₂) = P₁ se llaman puntos homólogos por la transformación f. f(P₁) = P₁, el punto P₁ es un punto doble. Dado un subconjunto E' del espacio E si f(E') = E', se dice que es invariante por la transformación geométrica. Se define movimiento como toda transformación geométrica f, tal que: d(P₁, P₂) = d(f(P₁), f(P₂)), para dos puntos P₁, P₂ cualesquiera del espacio E. Dada la aplicación biyectiva f, que es un movimiento, la f -1 , aplicación inversa de la dada, también es un movimiento. Dados dos movimientos f y g, sea h la aplicación compuesta de ambos, tendremos que h = g○f es una aplicación biyectiva por ser compuesta de dos aplicaciones que son biyectivas; h es un movimiento. Llamaremo

 Más ejercicios del tema. Ejercicio 1 Transformar en normal la ecuación del plano P y calcular la distancia del origen al plano. 3x + 2y-6z-42 = 0 Solución 1/(√A²+B²+C²) = 1/√[3²+2²+(-6)²] = 1/7 La ecuación normal de la recta es: (3/7)x + (2/7)y - (6/7)z - 6 = 0 siendo la distancia al origen: xp = +D/±√(A²+B²+C²) = -42/-7 = 6 Ejercicio 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y y se apoya en las rectas: x = z-1 y = -3z + 2 y x = 5z + 4 y = 4z - 3 Solución Si trazamos dos planos por el origen y cada una de estas rectas, tendremos que la intersección es la recta pedida: x -z + 1+𝜆(y+3z-2) = 0 => 1-2𝜆=0=> 𝜆 = 1/2 x -5z-4 + 𝜇(y-4z+3) = 0 => -4 + 3𝜇 = 0 => 𝜇 = 4/3 entonces: 2x +y+z = 0 3x +4y-31z = 0 que es la recta que buscábamos. Ejercicio 3 Hallar el plano que pasa por los puntos P(2, 5, 1) y Q(-3, 1, 4), que es además paralelo a la recta: x = 2z+10 y=7z-5 Solución El plano que verifica estas condiciones P(2, 5, 1), Q(-3, 1, 4) y (a,b,1)  viene dado por

 Algunos ejercicios para entender mejor lo explicado en esta lección. Ejercicio 1 Pasar de la ecuación general de esta recta a la forma ordinaria: 2x + y + 2z - 10 = 0 x -y +4z +2 = 0 Solución Tenemos que eliminar sucesivamente la y y la x: x = -2z + 8/3 y = 2z + 14/3 Ejercicio 2 Calcular los cosenos directores de la recta: x = (3/2)z - 1 y = 3z + 15 Solución De acuerdo con las fórmulas que hemos estudiado: cos 𝛼 = (3/2)/√[(3/2)² + 3²+1] = 3/7 => 𝛼 = 64º 40' (aprox.) cos 𝛽 = 3/√[(3/2)² + 3²+1] = 6/7 => 𝛽 = 31º cos 𝛾 = 2/7 => 𝛾 = 73º 26' Ejercicio 3 Dada la ecuación del plano: 10x + 5y -2z -10 = 0 Solución Vamos a determinar los segmentos que intercepta: Con el eje x: y = 0, z = 0, por lo que: 10a -10 = 0 => a = 1 Con el eje y: x = 0, z= 0, por lo que: 5b - 10 = 0 => b = 10/5= 2 Con el eje z: y= 0, x = 0, por lo que: -2c -10 = 0 => c = -10/2 = -5 entonces sustituyendo: x/a + y/b + z/c -1=0 x/1 + y/2 + z/(-5) = 1 en forma ordinaria: z = 5x + (5/2)y - 5

 Sean los planos: 𝜋 = Ax + By + Cz + D = 0 𝜋' = A'x + B'y + C'z + D' = 0 la distancia entre ambos será la distancia de un punto cualquiera P₁(x₁, y₁, z₁) del segundo plano al primero. la distancia del punto P₁ al plano es: d = ±(Ax₁ + By₁ + Cz₁+D)/√(A²+B²+C²) y como P₁(x₁, y₁, z₁) pertenece al plano 𝜋' se verifica: A'x₁ + B'y₁ + C'z₁ + D' = 0 y al ser paralelas: A/A' = B/B' = C/C' Con lo que queda que: A'x₁ + B'y₁ + C'z₁ = - D' y por tanto: d =± (D - D')/√(A²+B²+C²) En las próximas entradas, veremos algunos ejercicios y ejemplos sobre todo lo explicado en el tema. Gracias por leer el blog.

 Para medir esta distancia, buscamos la perpendicular común obtenida trazando por una de ellas r₂ un plano que sea paralelo a r₁. Desde el punto P de r₁ trazamos la perpendicular al plano y por el punto de corte Q de esta perpendicular con el plano trazamos una recta paralela. Esta recta s cortará a la recta r₂ en un punto R y la normal trazada por este punto R es la perpendicular común. Como PQ = RS = d, tenemos que r₁: x = az + h y = bz + k y r₂: x = a'z + h' y = b'z + k' El plano que contiene a r₂ tiene por ecuación: x - a'z - h' + 𝜆·(y - b'z -k') = 0 x + 𝜆y - (a'+b'𝜆)z - (h'+ 𝜆k') = 0 y la condición de paralelismo: a + 𝜆b - (a' + b'𝜆) = 0 por lo que: 𝜆 = -(a - a')/(b - b') y el plano paralelo: (b - b')x - (a-a')y + (ab' - ba')z + (a - a')k' - (b-b')h' = 0 Si por el punto P tomamos la traza de r₁ sobre el plano xy la d