Simetría axial

 La simetría axial es la simetría respecto de un eje.

Definición

Dada una recta ℓ, llamaremos simetría respecto del eje ℓ a la correspondencia por la cual a cada punto P se le hace corresponder un punto P', siendo el eje ℓ la mediatriz del segmento.

Propiedades

1. Cualquier punto del eje, cualquier recta perpendicular al eje, el eje mismo y el haz de planos que lo contienen son invariantes.
2. La figura simétrica de una recta es otra recta.
3. Dada una recta r que corta al eje ℓ y un punto de rP, su simétrico se encuentra en r' (r' es la recta que se encuentra en el cuarto eje y r es la recta que se encuentra en el primer eje de la imagen que se da como ejemplo).

P' = s(P)

4. Si consideramos otros puntos Q y E, observamos que: ROR₁ y POP₁ son iguales, R'OR₁ = P'OP₁, y por tanto, R' está en la dirección de OP', que es un segmento de r'.
5. Dos rectas simétricas cortan al eje en un mismo punto formando ángulos iguales con él.
6. Sólo serán paralelas si son paralelas al eje.
7. La distancia entre dos puntos es igual a la que existe entre sus simétricos.
8. Como ROR₁ y R'OR₁ son iguales OR = OR'. Análogamente, OQ = OQ', entonces OR - OQ = OR' - OQ' ⟺ QR = Q'R'.
9. El ángulo que forman dos rectas es igual al de sus simétricas.
10. Dos figuras simétricas respecto de un eje son anticongruentes.

Hemos visto que en una simetría se conservan distancias y ángulos, pero las figuras resultan de distinta orientación, son inversamente iguales o anticongruentes. De aquí:

• Todos los puntos del eje, y sólo ellos, son dobles.
• El eje y todas las rectas perpendiculares a él son las únicas rectas dobles.
• El eje es mediatriz del segmento que determinan dos puntos simétricos cualesquiera no situados en él.
• Si una recta corta al eje, su simétrica le corta en el mismo punto y este eje es bisectriz de los ángulos que forman las semirrectas simétricas.