Producto de simetrías

 Producto de simetrías axiales

  • Si los ejes de simetría son paralelos.

Tenemos entonces una traslación del vector normal a los ejes, módulo igual al doble de la distancia entre ellas y sentido del primer eje al segundo:

  • AB equivalente a A''B''
  • AA" = AC + CA' + A'C' + C'A" = 2CC'

como nos apoyamos en la relación de Möbius, la demostración es válida para cualquier punto del plano.

Recíprocamente, toda traslación puede obtenerse de infinidad de maneras como producto de dos simetrías axiales.

  • Si dos ejes de simetría se cortan en un punto O, resultará la transformada equivalente a un giro de centro O y amplitud el doble del ángulo que forman los ejes y sentido del primero al segundo.
  • El producto de simetrías respecto a los ejes perpendiculares es una simetría central respecto del punto de intersección.

Producto de una simetría central y otra axial

  • El producto de una simetría central de centro O por otra axial respecto de un eje ℓ que pasa por el centro O es otra simetría axial respecto de un eje perpendicular al ℓ que pase por dicho centro.
Ya sé que es un tema complejo cuando se ve por primera vez, para poder entender mejor la teoría estoy preparando unos ejercicios.

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