Ejercicios sobre espacio afín (2)

 Más ejercicios del tema.

Ejercicio 1

Transformar en normal la ecuación del plano P y calcular la distancia del origen al plano.

3x + 2y-6z-42 = 0

Solución

1/(√A²+B²+C²) = 1/√[3²+2²+(-6)²] = 1/7

La ecuación normal de la recta es:

(3/7)x + (2/7)y - (6/7)z - 6 = 0

siendo la distancia al origen:

xp = +D/±√(A²+B²+C²) = -42/-7 = 6

Ejercicio 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y y se apoya en las rectas:

  • x = z-1
  • y = -3z + 2

y

  • x = 5z + 4
  • y = 4z - 3

Solución

Si trazamos dos planos por el origen y cada una de estas rectas, tendremos que la intersección es la recta pedida:

  • x -z + 1+𝜆(y+3z-2) = 0 => 1-2𝜆=0=> 𝜆 = 1/2
  • x -5z-4 + 𝜇(y-4z+3) = 0 => -4 + 3𝜇 = 0 => 𝜇 = 4/3

entonces:

  • 2x +y+z = 0
  • 3x +4y-31z = 0

que es la recta que buscábamos.

Ejercicio 3

Hallar el plano que pasa por los puntos P(2, 5, 1) y Q(-3, 1, 4), que es además paralelo a la recta:

  • x = 2z+10
  • y=7z-5

Solución

El plano que verifica estas condiciones P(2, 5, 1), Q(-3, 1, 4) y (a,b,1)  viene dado por el determinante:

Determinante para hallar la ecuación del plano

y desarrollamos el determinante, obteniendo:

25x -11y + 27z -22 = 0

que es la ecuación del plano.

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