Ecuaciones de las simetrías

 Ecuación vectorial de las simetrías

Sea ℓ el eje de simetría, C el punto de corte de ℓ con una perpendicular desde el origen y u el vector unitario sobre ℓ.

La ecuación vectorial de ℓ;

𝜌 = c + 𝜆u, donde c = OC

Dado un punto P arbitrario, P' será su simétrico respecto a ℓ:

  • p = OP
  • p' = OP'

M es el punto de intersección de PP' con ℓ y OQ = OP + OP':

  • m = OM = (1/2)OQ = (1/2)(p+p')
  • m = c + 𝜆u
  • (1/2)(p+p') = c + 𝜆u
  • p' = 2c + 2𝜆u - p

pero como pp' = p'-p es perpendicular a ℓ:

(p'-p)·u = 0

entonces si multiplicamos p' = 2c + 2𝜆u - p por u, siendo (u)² = 1 y c·u = 0

p'·u = 2𝜆-p·u ⟺ p·u = 𝜆

sustituyendo:

p' = 2c + 2(p·u)u -p

que es la ecuación de la simetría respecto a ℓ.

Ecuaciones algebraicas

Sea x' = -u + 2(x·𝜏)𝜏-x ecuación vectorial de la simetría respecto a la recta.

Sea x' = x'u₁ + y'u₂, x = xu₁ + yu₂

En función del ángulo 𝛼

a = a·sen 𝛼 u₁ - a·cos 𝛼 ·u₂

ya que:

  • cos(𝛼 - 𝜋/2) = sen 𝛼
  • cos(𝜋 - 𝛼) = - cos 𝛼

luego:

x'u₁ + y'u₂ = 2(a·sen 𝛼 u₁ - a·cos 𝛼 ·u₂) + 2(x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼)·(cos 𝛼 u₁ + sen 𝛼 u₂)-(xu₁ + yu₂)

Por lo tanto:

  • x' = 2a·sen 𝛼 + 2x·cos² 𝛼 + 2y·cos 𝛼·sen 𝛼 - x
  • y' = -2a·cos x + 2x·cos 𝛼·sen 𝛼 + 2y·sen² 𝛼 -y

resultan por tanto las ecuaciones de simetría:

  • x' = 2a·sen 𝛼 + x·cos 2𝛼 + y·sen 𝛼
  • y' = -2a·cos 𝛼 + x·sen 2𝛼 - y·cos 2𝛼
También se pueden expresar de forma matricial.


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