Propiedades de la aplicación lineal asociada a un movimiento

Las principales propiedades son: 

1. Es biyectiva.
2. Es inyectiva.
3. Es suprayectiva.
4. Es lineal, dado que se cumplen los dos axiomas de la linealidad, es decir, f(x+y) = f(x) + f(y); f(ax) = a·f(x).
5. f(a + v) = f(a) + h(v)
6. |h(v)| = |v|

Ahora veamos las propiedades de los movimientos.

Propiedades de los movimientos

1. Mediante los movimientos de las rectas quedan transformadas en rectas, y las rectas paralelas, en rectas paralelas, es decir, f(r) = f(a + v) = f(a) + h(v).
2. Los planos se transforman en planos mediante movimientos, y los planos paralelos se transforman en planos paralelos, es decir, f(𝜋) = f(a+v) = f(a) + h(v).
3. En los movimientos, se conservan los ángulos, pues la aplicación lineal asociada al movimiento conserva el producto escalar.
4. La transformación resultante de aplicar dos movimientos, es otro movimiento, y se llama producto de estos movimientos.
5. La transformación inversa de todo movimiento es otro movimiento.
6. El producto de dos movimientos recíprocos es la identidad.

Como el producto de dos movimientos directos es otro movimiento directo, podemos afirmar que

• Todos los movimientos directos forman separadamente un grupo.
• En cambio no constituyen subgrupo los movimientos inversos, ya que el producto de dos movimientos inversos es uno directo.