Supermatemáticas a tu alcance

 El doble producto vectorial a x ( b x c ) es un vector perpendicular al plano que determinan los vectores a y b x c . El producto vectorial b x c es perpendicular al plano determinado por los vectores b y c . Todo vector perpendicular al b x c ha de estar contenido en el plano determinado por b y c , por tanto, el vector doble producto vectorial a x ( b x c ) está contenido en ese plano, es decir, es coplanario con los vectores b y c y podemos escribir: a x ( b x c ) = 𝜆 b + 𝜇 c La expresión analítica de los vectores a , b y c es la siguiente: a = a x i + a y j + a z k b = b x x i c = c x i + c z k Las expresiones analíticas del producto vectorial b x c y del doble producto vectorial a x (b x c) son las siguientes: b x c = -b x c z j a x ( b x c ) = a z b x c z i - a x b x c z k Si sumamos y restamos la expresión a x b x c x i se tiene: ( a · c ) b - ( a · b ) c q

 El producto vectorial de dos vectores y el escalar del resultante por un tercero se le llama producto mixto. Se escribe: a ·( b x c ) Geométricamente, a , b y c forman un paralelepípedo, siendo el área de la base b x c y la altura h la proyección de a sobre la dirección de b x c : h = a ( b x c )/| b x c | Podemos tomar como base una cara cualquiera cualquiera del sólido: a ( b x c ) = b ( c x a ) = c ( a x b ) y como el producto escalar goza de la propiedad conmutativa: ( b x c ) a = ( c x a ) b = ( a x b ) c Por tanto, sobre cualquier permutación circular de la a , b , c , los símbolos · y (x) pueden colocarse según nos convenga, y por ello, el producto mixto se expresa como ( a , b , c ). Expresión analítica del producto mixto La expresión a ·( b x c ) es igual, en su forma de determinante, a: Esta última igualdad se escribe teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de componentes correspondientes. El producto mi

 Si dos vectores son paralelos => sen 𝜽 = 0 y entonces: a x b = 0 para lo cual el determinante debe ser nulo, y por tanto: a x /b x = a y /b y = a z /b z = m Recíprocamente, si el producto vectorial de dos vectores es nulo, a x b = 0, siendo a ≠ 0 y b ≠ 0 , entonces son paralelos. Ejemplo Hallar el vector que sumado al a (-1, 3, 2) de un vector paralelo a b (5, 6, 3) y tenga módulo 10. Solución Si el vector que buscamos es c = (c x , c y , c z ) ( a + c ) = (-1 + c x , 3 + c y + 2 + c z ) siendo la condición de paralelismo de esta suma con b : (-1 + c x )/5 = (3 + c y )/6 = (2 + c z )/3 = 10/√70 de donde: (-1 + c x )/5 = 10/√70 => c x = 50/√70 + 1 (3 + c y )/6 = 10/√70 => c y = 60/√70 - 3 (2 + c z )/3 = 10/√70 => c z = 30/√70 - 2 El vector buscado es: c (50/√70 + 1, 60/√70 - 3, 30/√70 - 2)

 Esta entrada es continuación de la anterior . Producto vectorial de los vectores de la base Se define: i x i = j x j = k x k = 0 i x j = -j x i = k k x i = -i x k = j j x k = -k x j = i expresiones que constituyen la regla de Hamilton. Expresión analítica del producto vectorial ( a x b ) = (a x i +a y j +a z k ) x (b x i + b y j + b z k ) y desarrollando queda: a x b = (a y b z - a z b y ) i + (a z b x - a x b z ) j + (a x b y - a y b x ) k En forma de determinantes:

 Definimos producto vectorial como el vector cuyo módulo es el obtenido como producto de los módulos de los vectores dados por el seno del ángulo que forman; la dirección del vector obtenida es perpendicular al plano que contiene los vectores dados y el sentido aquel que hace triedro  a, b y a x b sea directo geométricamente. El módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que determinan los dos vectores. Es decir: | a x b | = a·b sen 𝛳 Un triedro XYZ es directo geométricamente si al girar el eje OX hacia el OY barriendo el menor de los ángulos que forman, un sacacorchos colocado en el eje OZ avanza en el sentido positivo del mismo. Otra forma de definirlo consiste en la llamada regla de la mano derecha, según la cual los ejes OX, OY y OZ tienen respectivamente la dirección de los dedos pulgar, índice y medio de esta mano. En el producto vectorial podemos estudiar las siguientes propiedades: Es uniforme: a x b = a' x b' , siendo a = a' y b = b&#

 El coseno del ángulo formado por dos vectores es: cos 𝛳 = a·b /ab = (a x b x + a y b y + a z b z )/(ab) que también podemos poner como: cos 𝛳 = 𝛼 x ꞵ x + 𝛼 y ꞵ y + 𝛼 z ꞵ z = u a ·u b que es el producto de los vectores unitarios correspondientes. Si a y b son perpendiculares: 𝛳 = 𝜋/2 => cos 𝛳 = 0 => a·b = 0 Para que dos vectores sean perpendiculares no basta con que a·b = 0, sino que además: a ≠ 0, b ≠0 Análogamente, si: a·b = a·c ⇏ b = c , pues a(b - c) = 0. Se verifica si a = 0, b - c = 0, a es perpendicular a ( b - c) . Ejemplo Sean los vectores a (1, 7, 3), b (m, 2 -1). Tenemos que calcular m para que el vector c = b - a sea perpendicular a a . Solución El vector c = b - a = (m-1, 2 - 7, -1-3) = (m-1, -5, -4) y si son perpendiculares b - a y a se verifica: ( b -a)·a = (m-1, -5, -4)(1, 7, 3) = m-1 -35-12 = 0 Por lo que m = 48.

 Tal como vimos en el plano, en el tema de plano afín euclídeo , el producto escalar de dos vectores resulta del producto de los módulos de los vectores dados por el coseno del ángulo que forman. Sean los vectores a(aₓa y a z ) y b(b x b y b z ), su producto escalar vendrá dado por: a·b = a·b cos 𝛳 sabiendo que la proyección de b sobre a es: proyₐ b = b·cos 𝛳 y la proyección de a sobre b es: proy b a = a·cos 𝛳 Podemos escribir entonces: a·b = aproy a b = bproy b a El producto escalar es el producto del módulo de uno los vectores por la proyección del otro sobre él. Los componentes de un vector son los productos escalares de éste por los vectores de base del sistema cartesiano trirrectangular de referencia: a x = a·i a y = a·j a z = a·k y el vector a = (a·i)i + (a·j)j + (a·k)k El producto escalar verifica las siguientes propiedades: Conmutativa: a·b = b·a Asociativa respecto al producto por un escalar:

 Más ejercicios relacionados con el tema. Ejercicio 1 Tenemos que hallar la recta paralela y perpendicular a 5x -2y - 3 = 0 desde el punto (1, 3). Solución Para hallar la paralela, ésta sería una recta con igual pendiente a la recta dada, por tanto: 5x - 2y - 3 = 0 -2y = 3 - 5x => 2y = - 3 + 5x y = -3/2 + (5/2)x m = 5/2 la recta paralela tendrá por pendiente 5/2 y al pasar por (1, 3) será de la forma: y - 3 = (5/2)(x - 1) Quitando paréntesis y despejando, nos queda: 2y - 5x - 1 = 0 La recta perpendicular tendrá por pendiente: m₂ = -1/m = -1/(5/2) = -2/5, y al pasar por el p(1, 3) será de la forma: y - 3 = (-2/5)(x - 1) Despejando y eliminando paréntesis, nos queda: 5y + 2x - 17 = 0 Ejercicio 2 Dados los puntos P(5, -3), Q(3, -2), R(1, 1) y S(9, -2) determinar cuál es el punto que se encuentra más alejado del A(-1, 9). Solución Primero tenemos que calcular las distancias respectivas de cada punto al (-1, 9). d(A, P) = √{[(-1) - (-5)]² + [(9-3]²} = √(16 + 36) = √52 d(A, Q) = √{[(-1) -

 Ejercicio 1 Dados los vectores a(1, 4), b(2, -3), tenemos que hallar: Su producto escalar. Módulo y norma de cada uno de ellos. Ángulos que forman entre sí. Solución a·b = 1·2 + 4(-3) = 2 - 12 = -10 2) |a| = √(1² + 4²) = √17 |b| = √(2²+(-3)²) = √13 || a || = 1² + 4² = 17 || b| | = 2²+(-3)² = 13 3) cos( a, b ) = -10/(√17·√13) = -0,67; por lo que forman un ángulo de 132.06 grados Ejercicio 2 Tenemos que hallar las coordenadas del vector x (x₁, x₂) sabiendo que se verifica simultáneamente vx = 0, wx = 2, siendo v (2, -3) y w (-1, 0). Solución Al cumplirse simultáneamente vx = 0 y wx = 2, se verifica: 2·x₁ - 3x₂ = 0 (1º) -1x₁ + 0x₂ = 2 (2º) Obtenemos que x₁ = -2 (se obtiene de la segunda ecuación). Por lo que sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos: 2(-2) - 3x₂ = 0 => -4 = 3x₂, por lo que x₂ = -4/3.  Por lo tanto: x (-2, -4/3) Ejercicio 3 Halla el valor de a si el ángulo que forma v (3, a) con w (2, -1) vale 90º. Solución cos 90º = vw /(| v || w |), por lo que: 0 = (3·

 Sea un triángulo ABC. Si consideramos los tres triángulos que se forman con el origen, se verifica el principio de Moëbius: OAB + OBC + OCA = ABC que es la expresión algebraica de la suma de determinantes: que es igual a: x₁y₂ - x₂y₁ + x₂y₃ - x₃y₂ + x₃y₁ - y₃x₁ = x₁(y₂ - y₃) - y₁(x₂ - x₃) + x₂y₃ - x₃y₂ De acuerdo con el principio de Moëbius el área de un polígono simplemente conexo (su contorno no se corta a sí mismo) será: P₁P₂...P n-1 = OP₁P₂ + OP₂P₃ + ... + OP n-1 Pₙ + OPₙP₁ que es igual a:

 Si tenemos un triángulo de vértices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) El área de dicho triángulo será igual a : S = (1/2)· BC ·h La longitud del lado BC podemos hallarla como la distancia entre dos puntos: BC = √[(x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²] (1) La altura sería la distancia desde el punto A(x₁, y₁) a la recta BC. Para hallar la recta BC, podemos aplicar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: (x - x₃)/(x₂ - x₃) = ( y - y₃)/(y₂ - y₃) La distancia de A(x₁, y₁) a la recta será: [(y₂ - y₃)x₁ - (x₂ - x₃)y₁ + (x₂ - x₃)y₃ - (y₂ - y₃)x₃]/ √[(x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²] (2) El área será pues: S = (1/2)·(1)·(2) Simplificando las raíces tenemos: Por lo que el área será igual a la mitad del valor de dicho determinante. NOTA: Observa que si los tres puntos están en línea recta el determinante es 0 por tener dos filas iguales, por lo que el área nos dará como resultado 0. Ejemplo Hallar la superficie del triángulo de vértices A(5,

 Recuerda que la bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice divide al ángulo en dos partes iguales. Los puntos de la bisectriz tienen la propiedad de equidistar de los lados del ángulo. Si tenemos las rectas: a: Ax + By + C = 0 b: A'x + B'y + C' = 0 y P(x, y) es un punto genérico de la bisectriz, la distancia P a las rectas a y b son iguales: d(P, a) = d(P, b) sustituyendo en su expresión analítica tenemos: (Ax + By + C)/√(A² + B²) = ± (A'x + B'y + C')/√(A'² + B'²) El doble signo nos da las bisectrices de los cuatro ángulos que forman las rectas a y b. Las bisectrices de esos ángulos se cortan perpendicularmente. Ejemplo Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas: x + 2y - 1 = 0 2x - y + 1 = 0 Solución (x + 2y -1)/√5 = ± (2x - y + 1)/√5 Tomando el signo +: x + 2y -1 = 2x -y + 1 x -3y + 2 = 0 y = (1/3)x + (2/3) la otra será: x + 2y - 1 = -2x + y - 1 3x + y = 0 y = -3x Se ve que sus pendientes son m =

 Sean el punto P₁ y la recta r ≡ x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = P y queremos hallar la distancia de P₁ a r.  Para ello, proyectamos sobre ON, que es la perpendicular a r por el origen de coordenadas proy OP₁ = proy OP' + proy P'P₁ P + d = x₁·cos 𝛼 + y₁·sen 𝛼 o sea d = x₁·cos 𝛼 + y₁·sen 𝛼 - P o sea, que como la forma normal de esa recta es x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 - P = 0 la distancia es la ecuación de la recta para (x, y) = (x₁, y₁), y por tanto, si la recta viene como Ax + By + C = 0 la distancia del punto P₁(x₁, y₁) a la recta será: d = (Ax₁ + By₁ + C)/(√(A² + B²)) Si el punto es el origen de coordenadas: d = C/(√(A² + B²)) Ejemplo Hallar la distancia del punto P(5, 2) a la recta 2x + 3y + 2 = 0 y hallar a su vez la distancia de dicha recta al origen de coordenadas. Solución La ecuación normal de la recta será: (2x + 3y + 2)/(√(4 + 9)

 La distancia siempre es ≥ 0. La distancia de un punto a sí mismo es nula, y si es nula, P ≡ Q. La distancia entre dos puntos tiene la propiedad conmutativa, ya que d(PQ) = d(QP). Para tres puntos P, Q, T de coordenadas (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), se verifica que d(PT) ≤ d(PQ) + d(QT), pues PT es igual PQ + QT , y por tanto, | PT | ≤ | PQ | + | QT |

 Si tenemos dos puntos: P(x₁, y₁) Q(x₂, y₂) la distancia entre estos puntos es igual módulo del vector PQ que determinan. PQ = OQ - OP = (x₂ i + y₂ j ) - (x₁ i + y₁ j ) = (x₂ - x₁) i + (y₂ - y₁) j y la distancia (PQ) es igual a: d(PQ) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] Como vemos, la distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la diferencia de abscisas al cuadrado más la diferencia de ordenadas al cuadrado. Ejemplo Tenemos que hallar la longitud de los lados del triángulo ABC, sabiendo que sus vértices son: A(-5, -1) B(3, 5) C(6, 3) Solución AB = √[(-5 -3)² + (-1+ 5)²] = √80 BC = √[(3-6)² + (-5 -3)²] = √73 AC = √[(-5 - 6)² + (-1 -3)²] = √137

 Si consideramos el sistema de referencia ortonormal (0, i, j) y un punto P(x₁, y₁) del plano, el origen 0 del sistema de referencia y el punto P determinan el vector 0P de componentes (x₁, y₁).  OP = (x₁ i + y₁ j ) la distancia del punto P al origen es el módulo del vector OP : d(OP) = √(x₁ i + y₁ j )² = √(x₁² + y₁²) Se deduce, pues, que la distancia de un punto al origen es igual a la raíz cuadrada de la suma sus coordenadas al cuadrado. Ejemplo Tenemos que hallar la distancia del origen al punto (-4, 3). Solución d = √(16 + 9) = √25 = 5