Ecuación de las bisectrices de un ángulo

 Recuerda que la bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice divide al ángulo en dos partes iguales.

Los puntos de la bisectriz tienen la propiedad de equidistar de los lados del ángulo.

Si tenemos las rectas:

  • a: Ax + By + C = 0
  • b: A'x + B'y + C' = 0

y P(x, y) es un punto genérico de la bisectriz, la distancia P a las rectas a y b son iguales:

d(P, a) = d(P, b)

sustituyendo en su expresión analítica tenemos:

(Ax + By + C)/√(A² + B²) = ± (A'x + B'y + C')/√(A'² + B'²)

El doble signo nos da las bisectrices de los cuatro ángulos que forman las rectas a y b. Las bisectrices de esos ángulos se cortan perpendicularmente.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas:

  • x + 2y - 1 = 0
  • 2x - y + 1 = 0

Solución

(x + 2y -1)/√5 = ± (2x - y + 1)/√5

Tomando el signo +:

  • x + 2y -1 = 2x -y + 1
  • x -3y + 2 = 0
  • y = (1/3)x + (2/3)
la otra será:
  • x + 2y - 1 = -2x + y - 1
  • 3x + y = 0
  • y = -3x
Se ve que sus pendientes son m = 1/3, m' = -3, son inversas y de signo contrario.


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