Ángulo de dos vectores

 El coseno del ángulo formado por dos vectores es:

cos 𝛳 = a·b/ab = (axbx + ayby + azbz)/(ab)

que también podemos poner como:

cos 𝛳 = 𝛼xꞵx + 𝛼yꞵy + 𝛼zꞵz = ua·ub

que es el producto de los vectores unitarios correspondientes.

Si a y b son perpendiculares:

𝛳 = 𝜋/2 => cos 𝛳 = 0 => a·b = 0

Para que dos vectores sean perpendiculares no basta con que a·b = 0, sino que además:

a ≠ 0, b ≠0

Análogamente, si:

a·b = a·c ⇏ b = c, pues a(b - c) = 0. Se verifica si a = 0, b - c = 0, a es perpendicular a (b - c).

Ejemplo

Sean los vectores a(1, 7, 3), b(m, 2 -1). Tenemos que calcular m para que el vector c = b - a sea perpendicular a a.

Solución

El vector c = b - a = (m-1, 2 - 7, -1-3) = (m-1, -5, -4) y si son perpendiculares b - a y a se verifica:

(b -a)·a = (m-1, -5, -4)(1, 7, 3) = m-1 -35-12 = 0

Por lo que m = 48.

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