Ejercicios del plano afín euclídeo (2)
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Ejercicio 1
Tenemos que hallar la recta paralela y perpendicular a 5x -2y - 3 = 0 desde el punto (1, 3).
Solución
Para hallar la paralela, ésta sería una recta con igual pendiente a la recta dada, por tanto:
- 5x - 2y - 3 = 0
- -2y = 3 - 5x => 2y = - 3 + 5x
- y = -3/2 + (5/2)x
- m = 5/2
la recta paralela tendrá por pendiente 5/2 y al pasar por (1, 3) será de la forma:
y - 3 = (5/2)(x - 1)
Quitando paréntesis y despejando, nos queda:
2y - 5x - 1 = 0
La recta perpendicular tendrá por pendiente:
m₂ = -1/m = -1/(5/2) = -2/5, y al pasar por el p(1, 3) será de la forma:
y - 3 = (-2/5)(x - 1)
Despejando y eliminando paréntesis, nos queda:
5y + 2x - 17 = 0
Ejercicio 2
Dados los puntos P(5, -3), Q(3, -2), R(1, 1) y S(9, -2) determinar cuál es el punto que se encuentra más alejado del A(-1, 9).
Solución
Primero tenemos que calcular las distancias respectivas de cada punto al (-1, 9).
- d(A, P) = √{[(-1) - (-5)]² + [(9-3]²} = √(16 + 36) = √52
- d(A, Q) = √{[(-1) - (3)]² + [(9-(-2)]²} = √137
- d(A, R) = √{[(-1) - (1)]² + [(9-1]²} = √68
- d(A, S) = √{[(-1) - (9)]² + [(9-(-2)]²} = √221
la mayor distancia corresponde al punto S.
Ejercicio 3
Un triángulo rectángulo tiene dos de sus vértices en los puntos A(3, 2) y B(7, 2). Sabiendo que los dos catetos son iguales en longitud, ¿cuál será la longitud del otro lado?
Solución
Necesitamos conocer el lado que nos falta y podemos calcularlo como la distancia entre A y B:
d(A, B) = √[(3-7)² + (2-2)²] = √16 = 4
Puesto que el lado es uno de los catetos y sabiendo que ambos son iguales, podemos calcular el otro lado (la hipotenusa):
4² + 4² = h² => h = √32 = 4√2
Ejercicio 4
Tenemos que hallar la ecuación normal correspondiente a la recta con ecuación general -5x + 12y -2 = 0 y además, calcular los cosenos directores y su distancia al eje de coordenadas.
Solución
Vamos a pasar de la ecuación general a la normal. Sabemos que la ecuación general es:
-5x + 12y - 2 = 0
por lo que la ecuación normal será:
-5x/√(25 + 144) + 12y/√(25+144) - 2/√(25+144) = 0
La ecuación normal será por tanto, al hallar el valor de las raíces:
-5x/13 + 12y/13 - 2/13 = 0
Los cosenos directores serán:
- cos 𝛼 = -5/13
- cos 𝛼' = 12/13
La distancia al origen se calcula con el término independiente de la ecuación normal de la recta:
|-2/13| = 2/13
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