Ejercicios del plano afín euclídeo (2)

 Más ejercicios relacionados con el tema.

Ejercicio 1

Tenemos que hallar la recta paralela y perpendicular a 5x -2y - 3 = 0 desde el punto (1, 3).

Solución

Para hallar la paralela, ésta sería una recta con igual pendiente a la recta dada, por tanto:

  • 5x - 2y - 3 = 0
  • -2y = 3 - 5x => 2y = - 3 + 5x
  • y = -3/2 + (5/2)x
  • m = 5/2

la recta paralela tendrá por pendiente 5/2 y al pasar por (1, 3) será de la forma:

y - 3 = (5/2)(x - 1)

Quitando paréntesis y despejando, nos queda:

2y - 5x - 1 = 0

La recta perpendicular tendrá por pendiente:

m₂ = -1/m = -1/(5/2) = -2/5, y al pasar por el p(1, 3) será de la forma:

y - 3 = (-2/5)(x - 1)

Despejando y eliminando paréntesis, nos queda:

5y + 2x - 17 = 0

Ejercicio 2

Dados los puntos P(5, -3), Q(3, -2), R(1, 1) y S(9, -2) determinar cuál es el punto que se encuentra más alejado del A(-1, 9).

Solución

Primero tenemos que calcular las distancias respectivas de cada punto al (-1, 9).

  • d(A, P) = √{[(-1) - (-5)]² + [(9-3]²} = √(16 + 36) = √52
  • d(A, Q) = √{[(-1) - (3)]² + [(9-(-2)]²} = √137
  • d(A, R) = √{[(-1) - (1)]² + [(9-1]²} = √68
  • d(A, S) = √{[(-1) - (9)]² + [(9-(-2)]²} = √221

la mayor distancia corresponde al punto S.

Ejercicio 3

Un triángulo rectángulo tiene dos de sus vértices en los puntos A(3, 2) y B(7, 2). Sabiendo que los dos catetos son iguales en longitud, ¿cuál será la longitud del otro lado?

Solución

Necesitamos conocer el lado que nos falta y podemos calcularlo como la distancia entre A y B:

d(A, B) = √[(3-7)² + (2-2)²] = √16 = 4

Puesto que el lado es uno de los catetos y sabiendo que ambos son iguales, podemos calcular el otro lado (la hipotenusa):

4² + 4² = h² => h = √32 = 4√2

Ejercicio 4

Tenemos que hallar la ecuación normal correspondiente a la recta con ecuación general -5x + 12y -2 = 0 y además, calcular los cosenos directores y su distancia al eje de coordenadas.

Solución

Vamos a pasar de la ecuación general a la normal. Sabemos que la ecuación general es:

-5x + 12y - 2 = 0

por lo que la ecuación normal será:

-5x/√(25 + 144) + 12y/√(25+144) - 2/√(25+144) = 0

La ecuación normal será por tanto, al hallar el valor de las raíces:

-5x/13 + 12y/13 - 2/13 = 0

Los cosenos directores serán:

  • cos 𝛼 = -5/13 
  • cos 𝛼' = 12/13

La distancia al origen se  calcula con el término independiente de la ecuación normal de la recta:

|-2/13| = 2/13


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