Distancia de un punto a una recta

 Sean el punto P₁ y la recta r ≡ x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = P y queremos hallar la distancia de P₁ a r. 

Para ello, proyectamos sobre ON, que es la perpendicular a r por el origen de coordenadas

Ejemplo de distancia de un punto a una recta


  • proy OP₁ = proy OP' + proy P'P₁
  • P + d = x₁·cos 𝛼 + y₁·sen 𝛼
o sea

d = x₁·cos 𝛼 + y₁·sen 𝛼 - P

o sea, que como la forma normal de esa recta es

x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 - P = 0

la distancia es la ecuación de la recta para (x, y) = (x₁, y₁), y por tanto, si la recta viene como

Ax + By + C = 0

la distancia del punto P₁(x₁, y₁) a la recta será:

d = (Ax₁ + By₁ + C)/(√(A² + B²))

Si el punto es el origen de coordenadas:

d = C/(√(A² + B²))

Ejemplo

Hallar la distancia del punto P(5, 2) a la recta 2x + 3y + 2 = 0 y hallar a su vez la distancia de dicha recta al origen de coordenadas.

Solución

La ecuación normal de la recta será:

(2x + 3y + 2)/(√(4 + 9)) = 0

  • Para hallar la distancia del punto P(5,2), sustituimos (x, y) por su valor:

d = (2·5 + 3·2 + 2)/√13 = 18/√13

  • Para hallar la distancia de la recta al origen:

d = 2/(√(4 + 9)) = 2/√13

NOTA: La distancia se considera siempre en valor absoluto, es decir, consideramos siempre distancias positivas.

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