Producto mixto

 El producto vectorial de dos vectores y el escalar del resultante por un tercero se le llama producto mixto. Se escribe:

a·(b x c)

Geométricamente, a, b y c forman un paralelepípedo, siendo el área de la base b x c y la altura h la proyección de a sobre la dirección de b x c:

h = a(b x c)/|b x c|

Podemos tomar como base una cara cualquiera cualquiera del sólido:

a(b x c) = b(c x a) = c(a x b)

y como el producto escalar goza de la propiedad conmutativa:

(b x c)a = (c x a)b = (a x b)c

Por tanto, sobre cualquier permutación circular de la a, b, c, los símbolos · y (x) pueden colocarse según nos convenga, y por ello, el producto mixto se expresa como (a, b, c).

Expresión analítica del producto mixto

La expresión a·(b x c) es igual, en su forma de determinante, a:

Esta última igualdad se escribe teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de componentes correspondientes.

El producto mixto cambia de signo al efectuar una permutación entre dos cualesquiera de los vectores. Al cambiar el convenio de signo de la base de referencia, cambia el signo del producto mixto, de aquí que éste sea pseudoescalar.

El producto mixto es nulo cuando lo es alguno de los vectores o cunado éstos son coplanarios, por ser entonces nulo el volumen del paralelepípedo que determinan. De aquí que tres vectores coplanarios puedan escribirse de la forma a = 𝜆b + 𝜇c, siendo 𝜆 y 𝜇 dos números reales, puesto que al ser nulo el determinante anterior, una fila ha de ser combinación lineal de las otras dos.