Producto escalar de dos vectores

 Tal como vimos en el plano, en el tema de plano afín euclídeo, el producto escalar de dos vectores resulta del producto de los módulos de los vectores dados por el coseno del ángulo que forman.

Sean los vectores a(aₓayaz) y b(bxbybz), su producto escalar vendrá dado por:

a·b = a·b cos 𝛳

sabiendo que la proyección de b sobre a es:

proyₐb = b·cos 𝛳

y la proyección de a sobre b es:

proyba = a·cos 𝛳

Podemos escribir entonces:

a·b = aproyab = bproyba

El producto escalar es el producto del módulo de uno los vectores por la proyección del otro sobre él.

Los componentes de un vector son los productos escalares de éste por los vectores de base del sistema cartesiano trirrectangular de referencia:

  • ax = a·i
  • ay = a·j
  • az = a·k

y el vector a = (a·i)i + (a·j)j + (a·k)k

El producto escalar verifica las siguientes propiedades:

Conmutativa: a·b = b·a

Asociativa respecto al producto por un escalar: (𝜆a)b = 𝜆(a·b) = a(𝜆b)

Distributiva respecto de la suma: a(b₁+b₂+...+bₙ) = ab₁+ab₂+...+abₙ

No verifica la propiedad asociativa para el producto escalar de vectores.

Algunos aspectos a tener en cuenta son:

Producto escalar de los vectores de la base

  • ii = jj = kk = 1
  • ij = ik = jk = 0

Expresión del producto escalar en función de los componentes

a·b = (axi + ayj + azk)(bxi + byj + bzk)

y se verifica que:

a·b = axbx + ayby + azbz

Por cumplir las propiedades asociativa respecto al producto y distributiva respecto de la suma.

Norma de un vector

Se define como el producto escalar de un vector por sí mismo:

a·a = a² = a²x + a²y + a²z


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