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 Consideremos la sucesión aₙ = (1 + 1/n)ⁿ lim (1 + 1/n) = 1 n→∞ lim n = ∞ n→∞ Estamos pues ante una indeterminación del tipo 1 ∞ Veamos si esta sucesión puede tener límite.: aₙ = 1 + n·(1/n) + n(n-1)/2·(1/n²) + [n(n-1)(n-2)/3!]·(1/n³) + ... = 2 + (1/2!)(1-1/n) + (1/3!)(1 - 1/n)(1 - 2/n) + ... La sucesión es monótona creciente, pues al aumentar m aumenta el número de términos y los sustraendos van disminuyendo, Por otra parte, la sucesión está acotada, pues: aₙ < 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... <  1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... = 2 + (1/2)/(1 - 1/2) = 3 Luego esta sucesión tiene un límite, este límite es el número real e = 2,718281828... ≈ 2,72. Ejemplos Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es: (1 + 1/n) ɑ El límite cuando n tiende a infinito: lim [(1 + 1/n)ⁿ]ɑ/n = lim e ɑ/n = 1 Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es (1 + 1/n) nɑ Cuando n tiende a infinito: lim [(1 + 1/n)ⁿ] ɑ = e ɑ

 Límite de una suma (resta) de sucesiones Sean {aₙ} y {bₙ} dos sucesiones tales que el límite cuando n tiende a infinito es: lim aₙ = a, lim bₙ = b Entonces: lim (aₙ + bₙ) = a + b n→∞ Ejemplo lim (3n³/(n+1) - (5n³ - 1)/(n²+1)) n→∞ aₙ = 3n³/(n+1), bₙ = (5n³-1)/(n²+1) Se tiene que cuando n tiende a infinito: lim aₙ = ∞, lim bₙ = ∞ Estamos pues ante la indeterminación: ∞ - ∞ Esta indeterminación se resuelve operando: lim (aₙ + bₙ) = (3n⁵ + 3n³ - 5n⁴ + n - 5n³+1)/[(n+1)(n²+1)] = n→∞ lim (3n⁵-5n⁴+2n³ + n + 1)/[(n+1)(n²+1)] = +∞ n→∞ Este tipo de indeterminaciones se presenta con frecuencia cuando aparecen diferencias de raíces, diferencia de fracciones... Límite de un producto (cociente) de sucesiones Si cuando n tiende a infinito el lim aₙ = a, lim bₙ = b, entonces el límite de (aₙ·bₙ) = a·b, cuando n tiende a infinito. Aquí se pueden presentar casos de indeterminación. En efecto, cuando n tiende a infinito, si lim aₙ = 0

Propiedades de los infinitésimos  La suma de dos infinitésimos es otro infinitésimo. La suma de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo. El producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo. El producto de un número finito de infinitésimos es otro infinitésimo. El producto de un infinitésimo por una sucesión convergente es un infinitésimo. El producto de un infinitésimo por un número real cualquiera es un infinitésimo. Resumen de las operaciones con límites Límite de suma-diferencia → indeterminación. Límite de producto-cociente → indeterminación Límite de potencias Límite q n q = 1 q<1 q<-1 q = - 1 Límite a n m , siendo m ∈ N;lim a n = a lim a n 1/m m ∈ N; lim a n = a m par m impar lim a 1/n a > 1 0 <

 Llamamos infinitésimos equivalentes a aquellos cuya diferencia es de orden superior y cuyo cociente tiene como límite 1. Si sumamos o restamos un infinitésimo a uno de orden inferior el orden de este último no varía. El orden de una suma de infinitésimos es el del sumando de orden menor y dicho sumando se llama término o parte principal. Ejemplos Calcular el límite de la sucesión aₙ = (n + 2)/n² Descomponiendo aₙ como la suma de dos sucesiones tenemos: aₙ = n/n² + 2/n² = 1/n + 2/n² Entonces, el límite cuando n tiende a infinito de la sucesión aₙ: lim (1/n + 2/n²) = lim 1/n + lim 2/n² = 0 + 0 = 0 Por tanto, la sucesión aₙ es un infinitésimo. Calcular e límite de la sucesión aₙ = 1/(2ⁿ+1) Primero calculamos el límite del denominador. Si llamamos bₙ = 2ⁿ + 1 y calculamos su límite cuando n tiende a infinito: lim (2ⁿ + 1) = lim  2ⁿ + lim 1 = ∞ + 1 = ∞ Se verifica que, cuando n tiende a infinito: lim aₙ = lim 1/

 Decimos que una sucesión aₙ es un infinitésimo cuando su límite es 0: lim aₙ = 0 n→∞ Por ejemplo, la sucesión aₙ = 1/n es un infinitésimo. Las sucesiones de la forma aₙ = 𝞪/n k , siendo 𝞪 un número real cualquiera y k un número natural, son infinitésimos. Comparación de infinitésimos Si el cociente de dos infinitésimos  𝞪 / 𝜷  tiene un límite finito y no nulo, se dice que ambos son del mismo orden y se escribe: 𝞪 = 0[𝜷] Decimos que  𝞪 es de orden superior a  𝜷 cuando dicho cociente  𝞪 / 𝜷 tiene por límite 0. En el caso de carecer de límite se dice que no son comparables los infinitésimos

 Si una sucesión aₙ tiene límite, este es único. Toda sucesión monótona , que sea acotada, tiene límite. Toda sucesión convergente está acotada. Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite. Si una sucesión aₙ de números reales tiene límite distinto de cero, entonces a partir de cierto término, todos son del mismo signo que el límite. Si tenemos dos sucesiones aₙ y bₙ verificando que aₙ≤bₙ para cualquier n ∈ N - {0}, entonces el límite de aₙ≤bₙ, cuando n tiende a infinito. Si dos sucesiones aₙ y bₙ tienen el mismo límite a y se verifica que la sucesión cₙ para ∀ n aₙ≤cₙ≤bₙ, entonces el límite de cₙ es también a. Ejemplos Calcular el límite, cuando n tiende a infinito de n!/nⁿ, sabiendo que 0≤n!/nⁿ≤1/n, para cualquier n ∈ N - {0} Sabemos por entradas anteriores que: lim 1/n = 0 n→∞ Como se verifica que  0≤n!/nⁿ≤1/n, entonces se cumple cuando n tiende a infinito que: 0≤ lim

 Una sucesión se llama divergente cuando tiende a ∞ o -∞. aₙ→∞⇔{∀ K ∃ n₀ (natural) / n > n₀ ⇒ aₙ > K} aₙ→-∞⇔{∀ K ∃ n₀ (natural) / n > n₀ ⇒ aₙ < K} Ejemplos Comprobar que la sucesión a n = n + (-1) n ·n es divergente. Si expresamos los primeros términos de la sucesión: a₁ = 0, a₂ = 4, a₃ = 0, a₄ = 8 .... Vemos que esta sucesión no tiene límite pues, aunque los términos impares formen una sucesión constante 0, los términos pares no tienden hacia ningún número. El punto cero sería un punto de acumulación. Formas de sucesiones divergentes Se dice que la sucesión a n diverge hacia +∞ cuando no está acotada superiormente, es decir, sus términos pueden ser tan grandes como queramos. Ejemplo Comprobar que la sucesión a n = n² + 1 diverge hacia +∞. Si expresamos los primeros términos: a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 10, a₄ = 17... Observamos que cada vez los términos van siendo mayores y no los podemos acotar por ningú

 El número real ȴ es el límite de la sucesión aₙ cuando para cualquier número 𝛆 > 0 podemos encontrar un número natural  n₀ tal que para todo n ≥ n₀ se verifica que |aₙ  - ȴ| < 𝛆. Esto se representa por: lim aₙ = ȴ n→∞ Intuitivamente la definición nos dice que si tomamos un entorno del punto  ȴ, con un radio cualquiera 𝛆, todos los términos de la sucesión a partir de un término an₀ están dentro de este entorno. Una sucesión de números reales que tiene límite dentro del conjunto R se dice que es convergente. Ejemplo Comprobar que el límite de la sucesión aₙ = 1/n es cero. Si escribimos los primeros términos de la sucesión, tenemos: a₁ = 1, a₂ = 1/2, a₃ = 1/3, a₄= 1/4 ... Cada vez, los términos se van haciendo más pequeños, luego tienden a 0, por tanto, su límite será 0. Aplicando la definición, si tomamos 𝛆 = 1/10, a partir del a 11 , 1/11, todos los términos están a una distancia del cero menor que 1/10: |1/n

 Sea {a n } una sucesión de números reales. Se dice que {a n } es de Cauchy, si y sólo si ∀𝛆 > 0 ∃ n 0 (𝛆) tal que ∀m,n N m,n ≥  n 0 (𝛆) y |a m - a n | < 𝛆. También podemos definirla como: ∀ 𝛆 > 0  ∃ n 0 (𝛆) ∀ n ≥ n 0 y ∀ k ≥1, |a n+k - a n | < 𝛆 Nos permite decir que una sucesión es convergente sin tener su límite. Teorema Sea {an} una sucesión de números reales, entonces podemos decir que: {a n } es convergente <==> {a n } es de Cauchy Demostramos la doble implicación en ambos sentidos: si es convergente => es de Cauchy. Tenemos la sucesión {a n }. Suponemos que n tiende a infinito: lim a n = a <==>   ∀ 𝛆 > 0  ∃ n 0 (𝛆) ∀ n ≥ n 0  , |a n  - a | < 𝛆 n͢→∞ Tomaremos un n 0 diferente, n 0 ( 𝛆/2) n≥  n 0 ( 𝛆/2), |a n - a| <  𝛆/2 Entonces: n≥  n 0 ( 𝛆/2), |a n - a| <  𝛆/2

 Vamos a definir dos formas de acotación. Una sucesión aₙ de números reales decimos que está acotada superiormente si existe un número real ɑ tal que aₙ≤ ɑ para todo n ∈ N - {0}. Al número ɑ se le conoce como la cota superior de la sucesión aₙ. Ejemplo Comprobar que la sucesión aₙ = (n + 1)/n está acotada superiormente. Estudiamos los primeros términos de la sucesión. a₁ = 2/1 = 2, a₂ = 3/2, a₃ = 4/3, a₄ = 5/4... Se comprueba que todos los términos de la sucesión son menores que 3. Entonces, 3 será una cota superior de aₙ. Una sucesión aₙ de números reales está acotada inferiormente si existe un número real β tal que aₙ≥β para todo valor de n ∈ N - {0}. Al número β se dice que es la cota inferior de la sucesión aₙ. NOTA: Toda sucesión monótona decreciente está acotada superiormente por el primer término de la sucesión a₁. Ejemplo Dada la sucesión aₙ = (n² - 1)/(2n + 1), tenemos que comprobar que está acotada inferiormente. L

 Las sucesiones monótonas pueden ser: crecientes decrecientes no crecientes no decrecientes constantes Sucesiones monótonas crecientes Una sucesión aₙ es monótona creciente cuando se verifica que aₙ < a n+1 para todo n ∈ N - {0}. Para comprobar que una sucesión sea monótona creciente, tendremos que ver por tanto que: a n+1 - a n > 0 para todo n ∈ N - {0} Ejemplo Dada la sucesión aₙ = (2n - 1)/2. Tenemos que comprobar que es una sucesión monótona creciente. a n+1 - a n = [2(n + 1) - 1]/2 - (2n - 1)/2 = (2n + 2 - 1 - 2n + 1)/2 = 2/2 = 1 Vemos que a n+1 - a n > 0, por lo que la sucesión será por tanto una sucesión monótona creciente. Sucesiones monótonas decrecientes Una sucesión aₙ es monótona decreciente cuando se verifica que a n > a n+1 para cualquier n ∈ N - {0}; es decir, cuando cada término de la sucesión es mayor que el siguiente. Para comprobar que una su

 Producto de una sucesión por un número real Dada una sucesión aₙ y un número real "K", definimos sucesión "K·aₙ", cuyos términos resultan de multiplicar cada término de la sucesión aₙ por K. Ejemplo Dada la sucesión aₙ = (n + 2)/n. Tenemos que hallar la sucesión definida por 5aₙ = Cₙ. El término general de la sucesión será  Cₙ = 5·(n + 2)/n = (5n + 10)/n, y los primeros términos serán: C₁ = 15, C₂ = 10, C₃ = 25/3 Potencia de exponente un número Dada una sucesión aₙ y un número real K se define la sucesión (aₙ)k, cuyos términos resultan de elevar a la K cada uno de los términos de la sucesión aₙ. Ejemplo Dadas las sucesiones aₙ = 1/n, bₙ = 1/(n² + n), hallar la sucesión definida por 1/3·( aₙ/bₙ)³= Cₙ Primero calculamos el cociente de las dos sucesiones: aₙ/bₙ = (1/n)/(1/(n² + n)) = (n² + n)/n Sacando factor común del denominador: (n² + n)/n = n (n + 1)/ n = (n + 1) Por tanto,