Propiedades de la sucesiones convergentes de números reales

  1.  Si una sucesión aₙ tiene límite, este es único.
  2. Toda sucesión monótona , que sea acotada, tiene límite.
  3. Toda sucesión convergente está acotada.
  4. Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite.
  5. Si una sucesión aₙ de números reales tiene límite distinto de cero, entonces a partir de cierto término, todos son del mismo signo que el límite.
  6. Si tenemos dos sucesiones aₙ y bₙ verificando que aₙ≤bₙ para cualquier n ∈ N - {0}, entonces el límite de aₙ≤bₙ, cuando n tiende a infinito.
  7. Si dos sucesiones aₙ y bₙ tienen el mismo límite a y se verifica que la sucesión cₙ para ∀ n aₙ≤cₙ≤bₙ, entonces el límite de cₙ es también a.

Ejemplos

Calcular el límite, cuando n tiende a infinito de n!/nⁿ, sabiendo que 0≤n!/nⁿ≤1/n, para cualquier n ∈ N - {0}

Sabemos por entradas anteriores que:

lim 1/n = 0
n→∞

Como se verifica que 0≤n!/nⁿ≤1/n, entonces se cumple cuando n tiende a infinito que:

0≤ lim n!/nⁿ≤ lim 1/n = 0

Por tanto:

lim n!/nⁿ = 0
n→∞


Comprobar que la sucesión aₙ = (n + 2)/(n+1) está acotada y decir cuales son sus cotas.

Primero, vamos a comprobar que aₙ es una sucesión monótona:

an - an+1 = (n + 2)/(n+1) - ((n+1)+2)/(n + 1 +1) = (n + 2)/(n+1) - (n+3)/(n+2) = 
=[(n + 2)(n+2) - (n+3)(n+1)]/[(n+1)(n+2)] = (n²+4n+4 -n²-4n-3)/[(n+1)(n+2)] = 
= 1/[(n+1)(n+2)]

Entonces la sucesión aₙ es monótona decreciente. Además, si estudiamos los primeros términos de la sucesión:

a₁ = 3/2, a₂ = 4/3, a₃ = 5/4, a₄ = 6/5....

Observamos que los términos de la sucesión tienden a 1, que será el límite. Por tanto, la cota superior de aₙ será 3/2 y la cota inferior será 1.

Recuerda que:
  • Si una sucesión aₙ monótona decreciente tiene un límite entonces sabemos que aₙ está acotada. Su cota superior será el primer término y su cota inferior será el valor del límite.
  • Si una sucesión monótona creciente tiene un límite sabemos que está acotada, siendo su cota inferior el primer término y su cota superior el valor del límite.

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