Sucesiones acotadas

 Vamos a definir dos formas de acotación.

Una sucesión aₙ de números reales decimos que está acotada superiormente si existe un número real ɑ tal que aₙ≤ ɑ para todo n ∈ N - {0}. Al número ɑ se le conoce como la cota superior de la sucesión aₙ.

Ejemplo

Comprobar que la sucesión aₙ = (n + 1)/n está acotada superiormente.

Estudiamos los primeros términos de la sucesión.

a₁ = 2/1 = 2, a₂ = 3/2, a₃ = 4/3, a₄ = 5/4...

Se comprueba que todos los términos de la sucesión son menores que 3. Entonces, 3 será una cota superior de aₙ.
Una sucesión aₙ de números reales está acotada inferiormente si existe un número real β tal que aₙ≥β para todo valor de n ∈ N - {0}. Al número β se dice que es la cota inferior de la sucesión aₙ.

NOTA: Toda sucesión monótona decreciente está acotada superiormente por el primer término de la sucesión a₁.

Ejemplo

Dada la sucesión aₙ = (n² - 1)/(2n + 1), tenemos que comprobar que está acotada inferiormente.

Los primeros términos de la sucesión serán:

a₁ = 0, a₂ = 3/5; a₃ = 8/7; a₄ = 15/9...

Como podemos observar, todos los términos de la sucesión son mayores que -1. Por lo tanto, -1 será una cota inferior de aₙ.

NOTA: Toda sucesión monótona creciente está acotada inferiormente por el primer término a₁

Una sucesión de números reales se dice que está acotada cuando lo está superior e inferiormente, es decir, cuando existen dos números reales ɑ y β tal que β≤aₙ≤ɑ para cualquier n ∈ N - {0}, es decir si ∃ k > 0 real, tal que |aₙ|≤k

Ejemplo

Comprobar que la sucesión aₙ = n/(n + 1) está acotada.

En primer lugar, vamos a ver si la sucesión aₙ es monótona:

an - an+1 = n/(n + 1) - (n+1)/((n+1) + 1) = (n²+2n -n² -2n -1)/[(n+1)(n+2)] = 
=-1/[(n + 1)(n+2)] < 0, para n ∈ N - {0}

Por tanto, an es monótona creciente. Por lo visto anteriormente, a₁ = 1/2 es una cota inferior de la sucesión.

Nos falta encontrar una cota superior para que aₙ esté acotada. 

Si escribimos los primeros términos:

a₁ = 1/2, a₂ = 2/3, a₃ = 3/4, a₄ = 4/5...

Se puede comprobar que todos los términos van a ser menores que 2, luego el 2 será una cota superior.

Entonces, tenemos que 1/2≤aₙ≤2

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