Sucesiones de Cauchy

 Sea {a_n} una sucesión de números reales. Se dice que {a_n} es de Cauchy, si y sólo si ∀𝛆 > 0 ∃ n₀(𝛆) tal que ∀m,n N m,n ≥  n₀(𝛆) y |a_m - a_n| < 𝛆.

También podemos definirla como:

∀ 𝛆 > 0  ∃ n₀(𝛆) ∀ n ≥ n₀ y ∀ k ≥1, |a_n+k - a_n| < 𝛆

Nos permite decir que una sucesión es convergente sin tener su límite.

Teorema

Sea {an} una sucesión de números reales, entonces podemos decir que:

{a_n} es convergente <==> {a_n} es de Cauchy

Demostramos la doble implicación en ambos sentidos:

• si es convergente => es de Cauchy.

Tenemos la sucesión {a_n}. Suponemos que n tiende a infinito:

lim a_n = a <==>  ∀ 𝛆 > 0  ∃ n₀(𝛆) ∀ n ≥ n₀ , |a_n - a| < 𝛆

n͢→∞

Tomaremos un n₀ diferente, n₀(𝛆/2)

n≥ n₀(𝛆/2), |a_n - a| < 𝛆/2

Entonces:

• n≥ n₀(𝛆/2), |a_n - a| < 𝛆/2
• n≥ n₀(𝛆/2), |a_m - a| < 𝛆/2

|a_m - a_n| = |a_m - a + a - a_n| ≤ |a_m - a| + |a - a_n| < 𝛆/2 + 𝛆/2 = 𝛆

Por tanto, |a_m - a_n| < 𝛆, como queríamos demostrar.

• En el otro sentido de la implicación:

{a_n} es de Cauchy => {a_n} es convergente

Para demostrarlo:

1. Probamos que {a_n} es de Cauchy => es acotada.
2. Si {an} es acotada (por Bolzano-Weiertrass) existe {a_n'} que es una subsucesión tal que lim a_n' = a', cuando n tiende a infinito.
3. Entonces, el límite cuando n tiende a infinito de la subsucesión a_n' es a', por lo que {a_n} es convergente.

Toda sucesión de Cauchy es convergente. El conjunto que cumple está propiedad se dice que es un conjunto completo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales es un conjunto completo. Sin embargo, el conjunto de los números racionales no lo es.