Sucesiones convergentes de números reales

 El número real ȴ es el límite de la sucesión aₙ cuando para cualquier número 𝛆 > 0 podemos encontrar un número natural  n₀ tal que para todo n ≥ n₀ se verifica que |aₙ  - ȴ| < 𝛆.

Esto se representa por:

lim aₙ = ȴ

n→∞

Intuitivamente la definición nos dice que si tomamos un entorno del punto ȴ, con un radio cualquiera 𝛆, todos los términos de la sucesión a partir de un término an₀ están dentro de este entorno.

Una sucesión de números reales que tiene límite dentro del conjunto R se dice que es convergente.

Ejemplo

Comprobar que el límite de la sucesión aₙ = 1/n es cero.

Si escribimos los primeros términos de la sucesión, tenemos:

a₁ = 1, a₂ = 1/2, a₃ = 1/3, a₄= 1/4 ...

Cada vez, los términos se van haciendo más pequeños, luego tienden a 0, por tanto, su límite será 0.

Aplicando la definición, si tomamos 𝛆 = 1/10, a partir del a₁₁, 1/11, todos los términos están a una distancia del cero menor que 1/10:

|1/n - 0| = |1/n| < 𝛆 = 1/10, para todo n≥11