Sucesiones relacionadas con el número e

 Consideremos la sucesión aₙ = (1 + 1/n)ⁿ

lim (1 + 1/n) = 1

n→∞

lim n = ∞

n→∞

Estamos pues ante una indeterminación del tipo 1^∞

Veamos si esta sucesión puede tener límite.:

aₙ = 1 + n·(1/n) + n(n-1)/2·(1/n²) + [n(n-1)(n-2)/3!]·(1/n³) + ... = 2 + (1/2!)(1-1/n) + (1/3!)(1 - 1/n)(1 - 2/n) + ...

La sucesión es monótona creciente, pues al aumentar m aumenta el número de términos y los sustraendos van disminuyendo,

Por otra parte, la sucesión está acotada, pues:

aₙ < 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... <  1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... = 2 + (1/2)/(1 - 1/2) = 3

Luego esta sucesión tiene un límite, este límite es el número real e = 2,718281828... ≈ 2,72.

Ejemplos

Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es:

(1 + 1/n)^ɑ

El límite cuando n tiende a infinito:

lim [(1 + 1/n)ⁿ]ɑ/n = lim e^ɑ/n = 1

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Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es

(1 + 1/n)^nɑ

Cuando n tiende a infinito:

lim [(1 + 1/n)ⁿ]^ɑ = e^ɑ

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Hay que tener en cuenta dos importantes propiedades: 

1. El límite cuando n tiende a infinito de (1 + 1/(n±h))ⁿ = e
2. Si {ɑₙ} es una sucesión convergente a cero, entonces el límite cuando n tiende a infinito de (1+ ɑₙ)^(1/ɑₙ) = e