Sucesiones divergentes

 Una sucesión se llama divergente cuando tiende a ∞ o -∞.

aₙ→∞⇔{∀ K ∃ n₀ (natural) / n > n₀ ⇒ aₙ > K}

aₙ→-∞⇔{∀ K ∃ n₀ (natural) / n > n₀ ⇒ aₙ < K}

Ejemplos

Comprobar que la sucesión a_n = n + (-1)ⁿ·n es divergente.

Si expresamos los primeros términos de la sucesión:

a₁ = 0, a₂ = 4, a₃ = 0, a₄ = 8 ....

Vemos que esta sucesión no tiene límite pues, aunque los términos impares formen una sucesión constante 0, los términos pares no tienden hacia ningún número. El punto cero sería un punto de acumulación.

Formas de sucesiones divergentes

Se dice que la sucesión a_n diverge hacia +∞ cuando no está acotada superiormente, es decir, sus términos pueden ser tan grandes como queramos.

Ejemplo

Comprobar que la sucesión a_n = n² + 1 diverge hacia +∞.

Si expresamos los primeros términos:

a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 10, a₄ = 17...

Observamos que cada vez los términos van siendo mayores y no los podemos acotar por ningún número. Por tanto:

lim n² + 1 = +∞

n→∞

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Se dice que la sucesión a_n diverge hacia -∞ cuando no está acotada inferiormente, es decir, que los términos son cada vez menores.

Ejemplo

Comprobar que la sucesión a_n = n - n² es divergente hacia -∞.

Si expresamos los primeros términos:

a₁ = -1, a₂ = -2, a₃ = -6, a₄ = -12...

Observamos que los términos son cada vez más pequeños, por tanto se tiene:

lim n - n² = -∞

n→∞