Infinitésimos equivalentes

 Llamamos infinitésimos equivalentes a aquellos cuya diferencia es de orden superior y cuyo cociente tiene como límite 1.

Si sumamos o restamos un infinitésimo a uno de orden inferior el orden de este último no varía.

El orden de una suma de infinitésimos es el del sumando de orden menor y dicho sumando se llama término o parte principal.

Ejemplos

Calcular el límite de la sucesión aₙ = (n + 2)/n²

Descomponiendo aₙ como la suma de dos sucesiones tenemos:

aₙ = n/n² + 2/n² = 1/n + 2/n²

Entonces, el límite cuando n tiende a infinito de la sucesión aₙ:

lim (1/n + 2/n²) = lim 1/n + lim 2/n² = 0 + 0 = 0

Por tanto, la sucesión aₙ es un infinitésimo.
Calcular e límite de la sucesión aₙ = 1/(2ⁿ+1)

Primero calculamos el límite del denominador. Si llamamos

bₙ = 2ⁿ + 1

y calculamos su límite cuando n tiende a infinito:

lim (2ⁿ + 1) = lim 2ⁿ + lim 1 = ∞ + 1 = ∞

Se verifica que, cuando n tiende a infinito:

lim aₙ = lim 1/bₙ = 1/lim bₙ = 0

Luego, la sucesión aₙ es un infinitésimo.

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