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 Sea f -1 (x) la función inversa de f(x). Vamos a demostrar que la derivada en el punto x = a es (f -1 )'(a) = 1/f'(f -1 (a)) De (f∘f -1 ) = Iₐ (identidad sobre A) resulta que (f∘f -1 )'(a) = 1 = f'(f -1 (a))·(f -1 )'(a) y entonces si f'(f -1 (a)) ≠ 0: (f -1 )'(a) = 1/(f'(f -1 (a))

 Derivada de la función seno Si tenemos la función f(x) = sen x, para hallar su derivada aplicamos la definición de derivada de función en un punto, es decir, el límite cuando x tiende a a de: f'(x) =lim  (f(x)-f(a))/(x-a) = lim (sen x - sen a)/(x-a) = (2cos((x+a)/2)·sen((x-a)/2))/(x-a)  Operando, obtenemos que la expresión de arriba es el producto del límite cuando x tiende a  a de: lim 2cos((x+a)/2)·lim (sen((x-a)/2))/(x-a) Por lo tanto, es igual al límite cuando x tiende a  a de: 2cos(2a/2)·(1/2)·lim ((sen(x-a)/2)/((x-a)/2) y como se sabe que cuando x tiende a 0, el siguiente límite es igual a 0: lim (sen x)/x = 1 tenemos: 2cos·(2a/2)·(1/2) = cos a Si tenemos que f(x) = sen u: f'(x) = cos u ·u' La derivada del seno de una función es igual a la derivada de la función multiplicada por el coseno de la función. Ejemplo Hallar la derivada de: f(x) = sen(2x³+7x) La derivada es: f'(x) = cos(2x³+7x)·(6x²+7) Derivada de la función coseno Para hallar la derivada de la función

 Podemos distinguir 4 casos: y = a u , siendo a constante. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln a u = u·Ln a Derivando: y'/y = u'·Ln a entonces, y' = u'·Ln a·y Ejemplo Vamos a hallar la derivada de y = 4 x³+2 . y' = 4 x³+2 ·Ln 4·3x² y=e u Ejemplo Hallar la derivada de y = e 8x⁴ . y' = e 8x⁴ ·32x³ y = e x   Aplicando la regla anterior: y' = e x y = u v   tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln u v = v Ln u derivando: y'/y = v'·Ln u + v·(u'/u) Despejando y':   y' = v'·u v ·Ln u + u v-1 ·v·u' La derivada de una función exponencial y potencial es igual a la suma de los resultados que se obtienen al derivarla como exponencial y potencial. Ejemplo Calcular la derivada de y = (3x-2) (5x²+7) Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln(3x-2)(5x²+7) = (5x²+7)·Ln(3x-2) derivando: y'/y = 10x·Ln(3x-2) + (3/(3x - 2))·(5x²+7) por lo tanto: y'

 Se puede hallar la derivada de una función de una forma sencilla tomando previamente previamente logaritmos neperianos y derivando. Así si: y = f(x) tomando logaritmo neperiano en los dos miembros: Ln y = Ln(f(x)) derivando: y'/y = f'(x)/f(x) despejando y': y' = (f'(x)·y)/f(x) Ejemplo Calcular mediante derivación logarítmica la derivada de la función: y = (3x²-5)/(5x + 1) Tomamos logaritmos neperianos: Ln y = Ln((3x²-5)/(5x+1)) derivando: y'/y = (6x(5x-1)-5(3x²-5))/(5x+1)²/((3x²-5)/(5x+1)) desarrollando la expresión: y'/y = (30x²+6x -15x²+25)/((3x²-5)(5x+1)) = (15x²+6x+25)/(15x³+3x²-25x+5) Despejando y': y' = (3x²-5)/(5x+1)·[ (15x²+6x+25)/(15x³+3x²-25x+5)] Desarrollando la expresión: y' = (45x⁴+18x³+75x²-75x²-30x-125)/(75x⁴+15x³-125x²+25x+15x³+3x²-25x+5) Por lo tanto: y' = (45x⁴+18x³-30x -125)/(75x⁴+30x³-122x²+5)

 Derivada del cociente de dos funciones Si f(x) es una función derivable y j(x) es otra función derivable, f(x)/j(x) también es derivable. (f/j)' = (f·(1/j))' = f·(1/j)' +(1/j)·f' = f(-j'/j²)+f'/j = (-fj'+f''j)/j² = (f'j-fj')/j² La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador  menos el numerador por la derivada del denominador y todo ello dividido por el denominador al cuadrado. Ejemplo Vamos a calcular la derivada de f(x) = 7/(x³-3). f'(x) = ((x³-3)·0 - 7(3x²))/(x³-3)² = -21x²/(x³-3)² Derivada de un polinomio La derivada de un polinomio es igual a la suma de las derivadas de cada uno de sus miembros: Ejemplo Vamos a calcular la derivada del polinomio y = 5x⁷ + 3x⁵ -5x⁴ + 2x³ - 8x² + 9. y' = 35x⁶+15x⁴-20x³+6x² -16x Derivada de una función logarítmica La derivada del logaritmo de una función es igual a la derivada de la función dividido por la función y multiplicado por el logaritmo en ba

 Derivada de una función constante Si tenemos f(x) = C, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = (f(x + h) - f(x))/h = (C - C)/h = 0 La derivada de una función constante es igual a cero. De lo anterior se deduce que dos funciones que tienen la misma derivada se diferencian únicamente en la constante. Derivada de la función identidad Sea una función f(x) = x, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h = (x + h -x)/h = 1 La derivada de una función identidad es siempre igual a 1. Derivada de una función x² Si f(x) = x², su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h = ((x + h)² - x²)/h = (x² + 2hx + h² - x²)/h = (2x + h) = 2x La derivada de una función x² es igual al exponente por la variable independiente. Derivada de la función x³ Si f(x) = x³, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de: f'(x) =

 La función derivada es la que resulta de asociar a cada punto el valor de la derivada en ese punto. f'(x) = df/dx Interpretación geométrica de la derivada Si tenemos una curva cuya representación gráfica es la de la figura, en ella tenemos un punto A, de abscisa x, y otro punto B, de abscisa (x + h). La tangente a una curva coincide con la derivación de la función en ese punto. Propiedades de la derivación de funciones En primer lugar hay que hacer referencia a la continuidad : Toda función derivable con derivada finita en un punto es continua en dicho punto. Asimismo, si una función tiene derivada a la derecha, entonces es continua a la derecha, si existe la derivada a la izquierda y es finita, la función es continua a la izquierda. Si dos funciones f y g son derivables en un punto a entonces también son derivables en a las funciones f + g, f·g, ƛf (para todo ƛ real), y si f(a) ≠ 0, 1/f. Si queréis comprobar la demostración, ponerlo en comentarios y haré una entrada al respecto.

 Una función f de A→R siendo A un intervalo de R se dice derivable en un punto a ∈ A si existe el límite en R. Es decir, que cuando x tienda al valor a exista el límite de (f(x)-f(a))/(x-a). El límite cuando existe se llama derivada de la función f en el punto a y se indica por f'(a). La consideración de los límites laterales en (f(x)-f(a))/(x-a) permite definir las derivadas a derecha o izquierda de una función en un punto de su campo de definición. Una función f definida en un intervalo A ⊂ R se dice derivable a la derecha , en un punto a ∈ A cuando existe el límite cuando x tiende a a⁺ de (f(x)-f(a))/(x-a). Una función f  se dice derivable por la izquierda cuando existe el límite cuando a x tiende a a⁻ de (f(x)-f(a))/(x-a). Una función derivable en un punto es derivable, simultáneamente, por la derecha y por la izquierda en dicho punto y los dos límites, derivadas a la derecha e izquierda, coinciden.

 Ejercicio 1 Tenemos que demostrar que cuando x tiende a infinito, el límite de (x+1)/(x+7) es igual a 1. Solución |(x+1)/(x+7) -1| < 𝜖 ⇔ |(x+1 - x - 7)/(x+7)|<𝜖 ⇔ |-6/(x+7)|<𝜖 Por lo tanto: 6/(x+7) < 𝜖,  (x+7) >6/𝜖 Si tomamos 𝜖 como 0,01, tenemos: x + 7 > 600 => x > 503 Cuando x vale más de 503, entonces (x+1)/(x+7) dista de menos de una centésima y ∀𝜖>0 podemos encontrar un x tal que a partir de él: |(x+1)/(x+7) -1|<𝜖 Ejercicio 2 Tenemos que demostrar que cuando x tiende a 1, el límite de (2x⁴-6x³+x²+3)/(x-1) es igual a -8. Solución Al sustituir el valor de x = 1, en la función tenemos: (2 -6 +1 +2)/(1-1) = 0/0 INDETERMINACIÓN Intentamos resolverla dividiendo: (2x⁴-6x³+x²+3)/(x-1) = 2x³-4x²-3x -3 Al sustituir en la nueva función x=1, tenemos: 2·1 - 4·1 -3·1 - 3 = -8 Ejercicio 3 Tenemos que estudiar la continuidad en el punto de abscisa 1 de la función: x² + 1, x<1 2 x = 1 x + 1 x >1 Solución Comprobamos que tiene límite cuando x tiende a 1:

 La función exponencial que toma como base el número e recibe el nombre de función exponencial neperiana. Al ser e > 2, las propiedades de las funciones exponenciales neperianas serán las correspondientes a una función exponencial de base a > 1. Entones se verifica: e⁰ = 1 e -x = 1/x e x+x' = e x ·e x' (e x ) x' = (e x·x' ) La representación gráfica:

 Función exponencial de variable real Podemos ampliar el conjunto original de la función exponencial y llegar a la función exponencial de variable real. Para una mejor comprensión, puedes ir a la entrada anterior. Dominio . La función exponencial está definida para todos los valores de la recta real, es decir, el intervalo (-∞, +∞). Signo . Las imágenes de la función exponencial son positivas. Se verifica que: Si a>1 y x >0, entonces a x >1 Si a>1 y x <0, a x <1 a⁰=1 para cualquier  "a" número real, positivo. Si a<1 y x>0, entonces a x <1 Si a<1 y x<0, entonces a x >1 Variación . Para a>1, la función exponencial es estrictamente creciente. Para a<1, la función exponencial es estrictamente decreciente Continuidad . La función exponencial es continua en cualquier valor de R. Ejemplo Veamos la función exponencial y =3x

 Función exponencial de variable natural Es una función del conjunto de los números naturales distintos del 0, en el conjunto de los números reales, donde a cada número natural n le hacemos corresponder su imagen aⁿ, siendo a ∈ R la base y n el exponente. Ejemplo Veamos 2ⁿ. Dominio . La función exponencial está definida para todos los valores de N*. Signo . Todas las imágenes de esta función son positivas. Crecimiento Cuando a<1, la función exponencial es decreciente, ya que a medida que a aumenta n, la imagen cada vez es menor por tanto, la función es decreciente. Por ejemplo, la función y = (0,8)ⁿ: Si a = 1, la función exponencial es constante. Si a>1, la función exponencial es creciente (visto en el ejemplo anterior ) Una propiedad fundamental de la función exponencial de varia