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 Dado un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R no reducido a un punto, diremos que tenemos una partición de dicho intervalo cuando seleccionamos un número finito de puntos distintos del mismo entre los que se encuentran los dos extremos a y b, es decir, a = x₀, x₁, x₂,..., xᵢ, xₙ = b, de tal manera que los puntos xᵢ se ordenan en forma creciente, es decir, a = x₀< x₁< x₂<....< xᵢ<xₙ=b. Llamaremos P = {a₁, x₁, x₂,..., b} a la partición del intervalo. Representamos por 𝓅[a, b] el conjunto de particiones de intervalo [a, b]. En dicho conjunto definimos un orden: una partición P ∈ 𝓅[a, b] es posterior a otra partición Q ∈ 𝓅[a, b] si todos los puntos que definen Q están incluidos entre los que definen P. Diremos que Q es anterior a P. Este orden no es total, ya que existen pares de particiones distintas no comparables. El orden es filtrante, ya que para cada par de particiones P₁, P₂ 𝓅[a, b] comparables o no, podemos encontrar siempre una par

 Antes de pasar a estudiar la integral definida, vamos a repasar integrales inmediatas por cambio de variable: ∫u'·u m dx = u m+1 /m+1 + C, si m ≠ -1 ∫(u'/u)dx = Ln|u| + C ∫(u'·a u )dx = a u /Ln a + C, a > 0 y a ≠ 1 ∫(u'·e u )dx = e u + C ∫(u'·sen u)dx = -cos u + C ∫(u'·cos u)dx = sen u + C ∫(u'·tg u) dx = -Ln|cos u| + C ∫(u'·cotg u)dx = Ln|sen u| + C ∫(u'/cos² u)dx = ∫u'·sec²u dx = tg u + C ∫(u'/sen² u)dx = ∫(u'·cosec²u) dx = -cotg u + C ∫u'·sec u·tg u dx = sec u + C ∫u'·cosec u ·cotg u dx = -cosec u + C ∫[u'/√(1 - u²)]dx = arc sen u + C = -arc cos u + C ∫[u'/(1+u²)]dx = arc tg u + C = -arc cotg u + C ∫[u'/u√(u²-1)]dx = arc sec u + C = - arc cosec u + C ∫[u'/√(u²+1)]dx = Ln|u + √(u² + 1) + C ∫[u'/√(u² - 1)]dx = Ln|u + √(u²-1)| + C ∫[u'/(u²-1)]dx = (1/2)·Ln|(u-1)/(u+1)| + C ∫[u'/(1-u²)]dx = ( 1/2)·Ln|(1+u)/(1-u)| + C

 Para entender mejor lo explicado en entradas anteriores , veamos algunos ejemplos de integración de funciones trigonométricas. Ejemplo 1 I = ∫sen³ x cos⁴ x dx = ∫sen² x cos⁴ x sen x dx = ∫(1-cos² x)(cos⁴ x)·sen x dx Hacemos el cambio cos x = t, por lo que -sen x dx = dt. Entonces: I = -∫(1-t²)t⁴dt = -∫t⁴dt + ∫t⁶dt = -t⁵/5 + t⁷/7 + C = (-cos⁵ x)/5 + (cos⁷ x) /7 + C Ejemplo 2 ∫dx/(cos x + cos³ x) Como 𝜔(𝜋-x) = 𝜔·x, se hace el cambio sen x = t, por lo que dx = dt y cos² x = 1 - t². Por lo tanto: ∫dx/(cos x + cos³ x) = ∫(cos x dx)/(cos² x)(1+cos² x) = ∫dt/(1-t²)(2-t²) =  = ∫[-1/4(1-t) - 1/4(1+t) + 1/2(1+t√2) + 1/2(1+t√2)]dt =  = 1/4Ln|(1-t)/(1+t)| + [1/(2√2)]·Ln |(1 + t√2)/(1 - t√2)| + C =  = (1/4)·Ln[(1 - sen x)/(1+sen x)] + (1/2√2)·Ln|(1+ √2sen x)/(1 - √2sen x)| + C

 Las integrales genéricas de la forma general: ∫R(cos x, sen x)dx Pueden resolverse por un cambio de variable: ∫P(cos x)sen x dx → cos x = t, sen x dx = dt ∫P(sen x)cos x dx → sen x = t, cos x dx = dt y en general, t = tg (x/2), ya que: sen x = (2tg(x/2))/(1 + tg²(x/2)) cos x = (1 - tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2)) Luego, la integral ∫R(sen x, cos x)dx queda transformada en ∫R(tg(x/2))dx y haciendo el cambio tg(x/2) = t, queda: sen x = 2t/(1 + t²), dx = 2(dt)/(1 + t²) cos x = (1 - t²)/(1 + t²) ∫R(sen x, cos x)dx = 2∫R(2t/(1+t²), (1-t²)/(1+t²))dt/(1+t²) Podemos simplificar si consideramos que: ⍵(x) = F(cos x, sen x)dx Hacemos el cambio: Si ∀x,  ⍵(-x) =  ⍵(x) → cambio t = cos x ⍵(𝜋-x) =  ⍵(x) →cambio t = sen x ⍵(𝜋+x) =  ⍵(x) → cambio t = tg x que conducen a una integral de forma racional. NOTA: hay que tener en cuenta que dx se considera también una función, y así, d(-x) = -dx. Como este tema pue

 Seguimos con la integración de funciones trigonométricas- Las integrales del tipo ∫dx/(sen m xcosⁿx) Si tienen n+m = número par (o sea, misma paridad en seno y coseno), debemos realizar el cambio y = tg x. Integrales del tipo ∫(sen 2m xdx)/cos 2n x o ∫(cos 2m xdx)/sen 2n x Siendo m,n ∈ N, y además, m >n, podemos aplicar las funciones trigonométricas: sen² x = 1 - cos² x cos² x = 1 - sen² x Quedando transformadas en los tipos considerados en entradas anteriores . Si m < n cambio y = tg x o y = ctg x Integrales que presenten la forma ∫dx/(sen 2k+1 x) Si k N, debemos efectuar el cambio: y = tg(x/2) Integrales de la forma ∫dx/(cos 2k+1 x) Podemos resolverlo por dos métodos: Se reduce al caso anterior sabiendo que cos x = sen(𝜋/2 + x), y realizando el cambio z = x + ℼ/2. Podemos hacer reducciones sucesivas sustituyendo en el numerador cos² x + sen

 Las integrales de la forma ∫cos p x sen q x dx pueden tener los siguientes casos: Integrales impares en coseno Si p es impar, p = 2n + 1. ∫cos 2n x ·cos x ·sen q x dx = ∫(1 - sen²x)ⁿ·sen q x cosx dx hacemos el cambio sen x = t => cos x dx = dt ∫(1-t²)ⁿt q dt Así llegamos a la integral de una fracción racional o polinomio. Integrales impares en seno Si q es impar, el cambio adecuado sería: t = cos x => -sen x dx = dt y tenemos ∫cos p x sen 2n x sen x dx = ∫cos p x(1-cos² x)ⁿsen x dx = ∫t p (1-t²)ⁿ(-dt) = -∫t p (1-t²)ⁿdt que es racional. Integrales pares en seno y coseno Si p y q son los dos pares y positivos ∫sen 2n x cos 2m x dx tenemos que transformarlas en sumas de integrales del tipo anterior y de otras del mismo tipo pero de grado inferior, mediante: sen² x = (1 - cos 2x)/2 cos² x = (1 + cos 2x)/2 o bien haciendo el cambio: cos x = (e ix + e -ix )/2 sen x = (e ix - e -ix )/2i

 Para empezar, vamos a estudiar integrales de la forma: ∫sen ax cos bx dx ∫sen ax sen bx dx ∫cos ax cos bx dx Todas pueden resolverse aplicando fórmulas de trigonometría, quedando convertidas en sumas o diferencias. Con esto tendremos Si a ≠ b ∫sen ax sen bx dx = (1/2)∫cos(a-b)xdx - (1/2)∫cos(a+b)xdx = [sen(a-b)x]/2(a-b) - [sen(a+b)x]/2(a+b) + C ∫cos ax cos bx dx = [sen(a-b)x]/2(a-b) - [sen(a+b)x]/2(a+b) + C ∫sen ax cos bx dx = [cos(a-b)x]/2(a-b) - [cos(a+b)x]/2(a+b) + C Si a = b: ∫sen²ax dx = ∫[(1-cos 2ax)/2]dx = x/2 - (sen 2ax)/4a + C ∫ cos² ax dx = ∫[(1 + cos 2ax)/2]dx = x/2 + (sen 2ax)/4a + C  ∫sen ax cos bx dx = ∫[(sen 2ax)/2]dx = - (cos 2ax)/4a + C Las integrales de la forma: ∫tgⁿ x dx ∫ctgⁿ x dx Se reducen a otras de grado inferior, separando un tg² x o un ctg² x del in

 Integrales de la forma ∫√(a²-x²)dx Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante. Para resolver una integral del tipo ∫√(a²-x²)dx, siendo a una constante cualquiera, se hace uso del cambio de variable, x = a·sen t. Diferenciando, dx = a·cos t dt. Así, √(a²-x²)dx = √(a²-a²·sen²t) = √(a²·(1-sen²t)) = √(a²·cos²t) = a·cost Por tanto, ∫√(a²-x²)dx = ∫(a·cost·a·cost)dt=a²∫cos²tdt Por trigonometría sabemos que: cos 2t = cos²t - sen²t 1 = cos²t + sen²t Sumando miembro a miembro las igualdades: 1 + cos 2t = 2cos²t, de donde cos²t = (1 + cos 2t)/2 = 1/2 + (1/2)cos 2t En consecuencia, ∫√(a²-x²)dx = a²∫cos²tdt = a²∫(1/2 + (1/2)cos 2t)dt = a²∫(1/2)dt + a²∫(1/2)(cos 2t)dt = = a²·(1/2)t + a²·(1/2)∫cos2t dt = (a²/2)t + (a²/2)·(1/2)∫2cos2tdt = (a²/2)t + (a²/4)sen 2t + C = (a²/2)(t + (1/2)sen2t)+C

 Esta entrada es continuación de la anterior . Integrales binómicas Son aquellas que tienen la forma ∫x m (a+bxⁿ) p dx, donde a y b son constantes cualesquiera no nulas, y m, n, p exponentes racionales. 1.Si p es entero , tenemos ∫P(x)dx, que es la integral de un polinomio. 2.Si p no es entero , haciendo el cambio xⁿ = t, tenemos que x = t 1/n , dx =(1/n)t (1/n - 1) dt. Entonces: I = 1/n∫t m/n (a+bt) p t (1/n - 1) dt = (1/n)∫(a+bt) p t (m-n+1/n) dt Como p es racional (p = r/s, siendo r y s enteros): 1/n∫(a+bt) r/s t q-1 dt, siendo q = (m+1)/n. Hacemos de nuevo un cambio de variable: (a+bt) (1/s) = u →a+bt=u s bt = u s - a →t = (u s -a)/b dt = (1/b)su s-1 du Sustituyendo: (1/n)(s/b q )∫u r (u s -a) (q-1) u (s-1) du = s/(nb q )∫u (r+s-1) (u s -a) q-1 du que se resuelve como la integral de un polinomio si q es entero. 3.Si p y q no son enteros, pero si p+q : ∫(a+bt) p t (q-1) dt = ∫[(a+bt)/t] p t (p+q-1) dt Si p+

 En todos los casos, el método de integración se basa en convertir la integral en una de tipo racional por el cambio de variable . Integrales del tipo ∫R(x m/n ,...x p/q )dx R significará siempre una función racional, m/n,..., p/q números racionales. Sea 𝜇 = m.c.m de los denominadores n,...,q. Realizamos el cambio; x 1/𝜇 = t, donde: x = t 𝜇 dx = 𝜇t 𝜇-1 dt pasamos a la integral 𝜇∫R(t m' ,...,t p' )t 𝜇-1 dt que es una integral racional, siendo m' = (m/n)𝜇,...,p'=(p/q)𝜇 Ejemplo Calcular: ∫dx/(√x + ∛x) Cambio: x = t⁶, dx = 6t⁵dt. Por lo tanto: I = ∫dx/(√x + ∛x) = ∫(6t⁵/(t³+t²))dt que es una integral racional. Integrándola, tendremos: I = 6∫(t²-t+1-1/(1+t))dt = 2t³ - 3t² +6t -6Ln(1+t) + C y deshaciendo el cambio: I = 2√x -3∛x + 6x 1/6 - 6Ln(1 + x 1/6 ) + C Integrales de tipo ∫R(x, [(ax+b)/(cx+d)) m/n , ((ax+b)/(cx+d)) p/q ]dx El cambio que debemos aplicar es: t 𝜇 = (a

 El método más práctico para resolver integrales de funciones racionales cuyo denominador tenga raíces imaginarias múltiples es el método de Hermite. Sea I = ∫[R(x)/Q(x)]dx Hagamos: R/Q = (X/D)' + Y/q Siendo: D = m.c.d(Q, Q') q=Q/D X = polinomio de un grado inferior a D. Y = polinomio de un grado inferior a q. q es un polinomio que tiene todos los ceros (raíces) simples. Tendremos: ∫[R/Q]dx = X/D + ∫[Y/q]dx (1) Sea: Q(x) = (x-x₁) 𝛼₁ ...(x-xₙ) 𝛼ₙ polinomio de grado n. D(x) = (x-x₁) 𝛼 i-1 ...(x-xₙ) 𝛼 n-1 polinomio de grado n-h. Q/D = q = (x-x₁)...(x-xₕ) polinomio de grado h≤n. Derivando en (1), tendremos: R/Q = (DX' - XD')/D² + Y/q  Como Q = qD, resulta que: R≡ qX' - pX + DY, siendo p = D'q/D X es un polinomio indeterminado de grado n-h-1 e Y un polinomio de grado n-1 y el número total de coeficientes indeterminados es n, y como el primer miemb

 Veamos más ejemplos de integración de funciones de racionales, esta vez cuando en el denominador se obtienen raíces imaginarias. Ejemplo 1 Tenemos que calcular ∫[(3x-1)/(x²+2x+5)]dx Solución Al resolver la ecuación de segundo grado x²+2x+5 = 0, se obtienen las raíces -1+2i y -1-2i, por lo que x²+2x+5 = (x +1 -2i)(x+1-2i) = (x+1)²+4 Hacemos una serie de transformaciones, para poder dividir la integral en dos partes: ∫[(3x-1)/(x²+2x+5)]dx = ∫[(3x - 1 + 3(-1) -3(-1))/(x²+2x+5)]dx =  =∫[(3(x+1)-4)/((x+1)²+4)]dx = ∫[3(x+1)/((x+1)²+4)]dx + ∫[-4/((x²+1)+4)]dx Se resuelven por separado las dos integrales: ∫[3(x+1)/((x+1)²+4)]dx = 3∫[(x+1)/((x+1)²+4)]dx  Si u = (x+1)² + 4, u' = 2(x+1). Por tanto: ∫[3(x+1)/((x+1)²+4)]dx = (3/2)∫[2(x+1)/((x+1)²+4)]dx = 3/2ln[(x+1)²+4] + C Sabemos que (x+1)² + 4 = 4[(x+1)²/4 + 1] = 4[((x+1)/2)² + 1]. Así: ∫[-4/((x+1)²+4)] = -4∫dx/4[((x+1)/2)²+1] = -∫dx/((x+1)/2)² Llamando u = (x+1)/2, u