Integración de funciones irracionales (1)

 En todos los casos, el método de integración se basa en convertir la integral en una de tipo racional por el cambio de variable.

Integrales del tipo ∫R(x^m/n,...x^p/q)dx

R significará siempre una función racional, m/n,..., p/q números racionales.

Sea 𝜇 = m.c.m de los denominadores n,...,q. Realizamos el cambio; x^1/𝜇 = t, donde:

• x = t^𝜇
• dx = 𝜇t^𝜇-1dt

pasamos a la integral

𝜇∫R(t^m',...,t^p')t^𝜇-1dt

que es una integral racional, siendo

m' = (m/n)𝜇,...,p'=(p/q)𝜇

Ejemplo

Calcular:

∫dx/(√x + ∛x)

Cambio: x = t⁶, dx = 6t⁵dt. Por lo tanto:

I = ∫dx/(√x + ∛x) = ∫(6t⁵/(t³+t²))dt

que es una integral racional. Integrándola, tendremos:

I = 6∫(t²-t+1-1/(1+t))dt = 2t³ - 3t² +6t -6Ln(1+t) + C

y deshaciendo el cambio:

I = 2√x -3∛x + 6x^1/6 - 6Ln(1 + x^1/6) + C

Integrales de tipo ∫R(x, [(ax+b)/(cx+d))^m/n, ((ax+b)/(cx+d))^p/q]dx

El cambio que debemos aplicar es: t^𝜇 = (ax+b)/(cx +d), donde 𝜇=m.c.m(n,q,...).

De este cambio resulta:

x = (dt^𝜇-b)/(a-ct^𝜇)≡r(t), dx = r'(t)dt

y, por tanto:

∫R(r(t),t^n',...)r'(t), que es una integral racional.

Son otros casos particulares (siendo 𝜇= m.c.m (n, q,...)):

• ∫R[x,(ax+b)m/n,...]dx→cambio de ax+b = t^𝜇
• ∫R(x,(ax+b)1/mdx)→cambio ax+b = t^m