Integración de funciones trigonométricas (4)

 Las integrales genéricas de la forma general:

∫R(cos x, sen x)dx

Pueden resolverse por un cambio de variable:

  • ∫P(cos x)sen x dx → cos x = t, sen x dx = dt
  • ∫P(sen x)cos x dx → sen x = t, cos x dx = dt

y en general, t = tg (x/2), ya que:

  • sen x = (2tg(x/2))/(1 + tg²(x/2))
  • cos x = (1 - tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2))

Luego, la integral ∫R(sen x, cos x)dx queda transformada en ∫R(tg(x/2))dx y haciendo el cambio tg(x/2) = t, queda:

  • sen x = 2t/(1 + t²), dx = 2(dt)/(1 + t²)
  • cos x = (1 - t²)/(1 + t²)

∫R(sen x, cos x)dx = 2∫R(2t/(1+t²), (1-t²)/(1+t²))dt/(1+t²)

Podemos simplificar si consideramos que:

⍵(x) = F(cos x, sen x)dx

Hacemos el cambio:

Si ∀x, 

  1. ⍵(-x) = ⍵(x) → cambio t = cos x
  2. ⍵(𝜋-x) = ⍵(x) →cambio t = sen x
  3. ⍵(𝜋+x) = ⍵(x) → cambio t = tg x

que conducen a una integral de forma racional.

NOTA: hay que tener en cuenta que dx se considera también una función, y así, d(-x) = -dx.

Como este tema puede resultar algo complejo, realizaré algunos ejemplos en las siguientes entradas.

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