Integración de funciones trigonométricas (3)

 Seguimos con la integración de funciones trigonométricas-

Las integrales del tipo ∫dx/(sen^mxcosⁿx)

Si tienen n+m = número par (o sea, misma paridad en seno y coseno), debemos realizar el cambio y = tg x.

Integrales del tipo ∫(sen^2mxdx)/cos²ⁿx o ∫(cos^2mxdx)/sen²ⁿx

Siendo m,n ∈ N, y además, m >n, podemos aplicar las funciones trigonométricas:

sen² x = 1 - cos² x

cos² x = 1 - sen² x

Quedando transformadas en los tipos considerados en entradas anteriores.

• Si m < n cambio y = tg x o y = ctg x

Integrales que presenten la forma ∫dx/(sen^2k+1x)

Si k N, debemos efectuar el cambio:

y = tg(x/2)

Integrales de la forma ∫dx/(cos^2k+1x)

Podemos resolverlo por dos métodos:

• Se reduce al caso anterior sabiendo que cos x = sen(𝜋/2 + x), y realizando el cambio z = x + ℼ/2.
• Podemos hacer reducciones sucesivas sustituyendo en el numerador cos² x + sen² x = 1, y aplicando la integración por partes.

Integrales de la forma ∫dx/(sen^2m+1xcos^2mx) o ∫dx/(sen^2mxcos^2m+1x)

Se transforma en suma de integrales de tipos ya conocidos mediante la sustitución en el numerador:

1 = (cos² x + sen² x)k

de modo que:

2k≥max(2m+1, 2n)