Integración de funciones trigonométricas (2)

 Las integrales de la forma

∫cosp x senq x dx

pueden tener los siguientes casos:

Integrales impares en coseno

Si p es impar, p = 2n + 1.

∫cos2n x ·cos x ·senqx dx = ∫(1 - sen²x)ⁿ·senq x cosx dx

hacemos el cambio sen x = t => cos x dx = dt

∫(1-t²)ⁿtqdt

Así llegamos a la integral de una fracción racional o polinomio.

Integrales impares en seno

Si q es impar, el cambio adecuado sería:

t = cos x => -sen x dx = dt

y tenemos

∫cospx sen2n x sen x dx = ∫cospx(1-cos² x)ⁿsen x dx = ∫tp(1-t²)ⁿ(-dt) = -∫tp(1-t²)ⁿdt

que es racional.

Integrales pares en seno y coseno

  1. Si p y q son los dos pares y positivos

∫sen2n x cos2m x dx

tenemos que transformarlas en sumas de integrales del tipo anterior y de otras del mismo tipo pero de grado inferior, mediante:

  • sen² x = (1 - cos 2x)/2
  • cos² x = (1 + cos 2x)/2
o bien haciendo el cambio:
  • cos x = (eix + e-ix)/2
  • sen x = (eix - e-ix)/2i
  1. Si p y q son las dos pares y al menos uno es negativo, se tomará:
  • t = tg x, si p <0
  • t = ctg x, si q < 0

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