Introducción a la integral definida

 Dado un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R no reducido a un punto, diremos que tenemos una partición de dicho intervalo cuando seleccionamos un número finito de puntos distintos del mismo entre los que se encuentran los dos extremos a y b, es decir, a = x₀, x₁, x₂,..., xᵢ, xₙ = b, de tal manera que los puntos xᵢ se ordenan en forma creciente, es decir, a = x₀< x₁< x₂<....< xᵢ<xₙ=b.

Llamaremos P = {a₁, x₁, x₂,..., b} a la partición del intervalo. Representamos por 𝓅[a, b] el conjunto de particiones de intervalo [a, b].

En dicho conjunto definimos un orden: una partición P ∈ 𝓅[a, b] es posterior a otra partición Q ∈ 𝓅[a, b] si todos los puntos que definen Q están incluidos entre los que definen P. Diremos que Q es anterior a P.

Este orden no es total, ya que existen pares de particiones distintas no comparables.

El orden es filtrante, ya que para cada par de particiones P₁, P₂ 𝓅[a, b] comparables o no, podemos encontrar siempre una partición P ∈ 𝓅[a, b] que es posterior a ambas, es decir, P₁ ≤ P, P₂≤P.

Para una partición cualquiera P definiremos la norma de la partición y lo representamos por |P| = max{x_i+1 - xᵢ}, esto es, la distancia máxima entre dos puntos consecutivos que definen la partición. Desde luego, si P₁≤P₂ tenemos |P₁|≥|P₂|.

Frecuentemente, se utilizarán particiones P definidas mediante subintervalos iguales:

P = (x₀<x₁<x₂<...<xₙ) con (x_i+1 - xᵢ) = (b-a)/n ∀i

Tenemos en estos casos, |P| = (b-a)/n = max (x_i+1-xᵢ).

Dada una función real de variable real f definida en un intervalo cerrado [a, b] podemos asociar a cada partición P del intervalo el número real positivo:

V(p, f) = 𝛴|f(x_i+1) - f(x_i)| R⁺ (sumatorio desde i = 0 hasta n-1)

Para una función constante: ∀P: V(P, f) = 0.

Para una función no decreciente en a, b:

V(P, f) = 𝛴|f(x_i+1) - f(x_i)| = 𝛴(f(x_i+1) - f(xᵢ)) = f(b) - f(a) (sumatorio desde 0 hasta n - 1), que es independiente de la partición elegida.

Análogamente, si es no creciente:

V(P, f) = f(a) - f(b)

El extremo superior en R de los valores V(P, f) al variar la partición P se llama variación de la función f en [a, b] y lo representamos por V(f).

V(f) = extremo superior de V(P, f)

P ∈ 𝜌[a, b]

Una función se dice de variación acotada en un intervalo cuando V(f) es real, esto es, finita.

Todas las funciones monótonas son de variación acotada.

En general, toda función real definida en [a, b] para la que se puede encontrar una subdivisión del intervalo, de forma que en los subintervalos parciales de la función es no-creciente (es decir, monótona) es una función de variación acotada.

Si f y g son funciones de variación acotada en [a, b] su suma también lo es, así como su diferencia:

V(f + g) ≤ V(f) + V(g)

V(f - g)≤V(f) + V(g)

Si c ∈ [a, b] tenemos:

V^{[a, c]}(f) + V^{[c, b]}(f) = V[a, b](f)

Teorema fundamental

Una función f es de variación acotada en un intervalo si y solo si puede expresarse como diferencia de dos funciones monótonas.