Integración de funciones irracionales (2)

 Esta entrada es continuación de la anterior.

Integrales binómicas

Son aquellas que tienen la forma ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx, donde a y b son constantes cualesquiera no nulas, y m, n, p exponentes racionales.

1.Si p es entero, tenemos ∫P(x)dx, que es la integral de un polinomio.

---

2.Si p no es entero, haciendo el cambio xⁿ = t, tenemos que x = t^1/n, dx =(1/n)t^{(1/n - 1)}dt. Entonces:

I = 1/n∫t^m/n(a+bt)^pt^{(1/n - 1)}dt = (1/n)∫(a+bt)^pt^(m-n+1/n)dt

Como p es racional (p = r/s, siendo r y s enteros):

1/n∫(a+bt)^r/st^q-1dt, siendo q = (m+1)/n. Hacemos de nuevo un cambio de variable:

• (a+bt)^(1/s) = u →a+bt=u^s
• bt = u^s - a →t = (u^s-a)/b
• dt = (1/b)su^s-1du

Sustituyendo:

(1/n)(s/b^q)∫u^r(u^s-a)^(q-1)u^(s-1)du = s/(nb^q)∫u^(r+s-1)(u^s-a)^q-1du

que se resuelve como la integral de un polinomio si q es entero.

---

3.Si p y q no son enteros, pero si p+q:

∫(a+bt)^pt^(q-1)dt = ∫[(a+bt)/t]^pt^(p+q-1)dt

Si p+q es entero, p+q-1 = número entero = c.

Si p no es entero, pero es racional:

∫[(a+bt)/t]^(r/s)t^cdt = ∫(b+at^-1)^(r/s)t^cdt

Realizamos el siguiente cambio:

• (b+at^-1)^(1/s) = u
• b+at^-1 = u^s
• t=a/(u^s-b)
• dt=-sau^s-1/(u^s-b)²du

Entonces:

a^(c+1)s∫(u^r(1/(u^s-b)^c·u^s-1/(u^s-b)²)du = sa^c+1∫[u^r+s-1/(u^s-b)^(c+2)]

que es una integral racional.

Ejemplo

Resolver la integral:

∫(1+x²)^(-3/2)dx

Solución

Analizando la expresión (1+x²)^(-3/2)dx, observamos que es una binómica de tipo p+q entero.

• (2+1)/2 = q
• (-3/2)=p
• p+q = 0

Debemos hacer el siguiente cambio:

• x²=t
• 2xdx = dt

Nos quedará:

(1/2)∫(1+t)^(-3/2)t^(1/2)dt = (1/2)∫[(1+t)/t]^(-3/2)t^-1dt = (1/2)∫(1+t^-1)^(-3/2)t^-1dt

realizamos un nuevo cambio de variable:

• (1+t^-1)^(-1/2) = u
• t^-1 = u^-2 - 1
• dt = [2u^-3/(u^-2 -1)]du

Entonces:

(1/2)·2∫[u³(u^-2 -1)u^-3/(u^-2-1)²]du = ∫u²du/(1-u²) = -∫du + ∫du/(1-u²) 

Resolviéndola, tenemos que:

-u + arc tgh u

Sustituyendo u, y operando, tenemos:

I = -x/√(1+x²) + Ln( √(1+x²) + x) + C