Integración de funciones irracionales (3)

 Integrales de la forma ∫√(a²-x²)dx

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

Para resolver una integral del tipo ∫√(a²-x²)dx, siendo a una constante cualquiera, se hace uso del cambio de variable, x = a·sen t. Diferenciando, dx = a·cos t dt. Así,

√(a²-x²)dx = √(a²-a²·sen²t) = √(a²·(1-sen²t)) = √(a²·cos²t) = a·cost

Por tanto,

∫√(a²-x²)dx = ∫(a·cost·a·cost)dt=a²∫cos²tdt

Por trigonometría sabemos que:

• cos 2t = cos²t - sen²t
• 1 = cos²t + sen²t

Sumando miembro a miembro las igualdades:

1 + cos 2t = 2cos²t, de donde

cos²t = (1 + cos 2t)/2 = 1/2 + (1/2)cos 2t

En consecuencia,

∫√(a²-x²)dx = a²∫cos²tdt = a²∫(1/2 + (1/2)cos 2t)dt = a²∫(1/2)dt + a²∫(1/2)(cos 2t)dt =

= a²·(1/2)t + a²·(1/2)∫cos2t dt = (a²/2)t + (a²/2)·(1/2)∫2cos2tdt = (a²/2)t + (a²/4)sen 2t + C = (a²/2)(t + (1/2)sen2t)+C

Recordando que sen 2t = 2 sen t · cos t,

(a²/2)(t + (1/2)sen 2t) = (a²/2)[t + (1/2)·(2 sen t · cos t)] = (a²/2)(t + sen t cos t)

Puesto que x = a·sen t, sen t = (x/a), y como cos²t = 1 - sen²t:

cos² t = √[1 - (x/a)²] = √(a²-x²)/a

Por otro lado, de sen t = x/a, t = arc sen (x/a).

Se llega finalmente a la siguiente igualdad:

∫√(a²-x²)dx = (a²/2)[arc sen (x/a) + (x/a)·(√(a²-x²)/a)] + C

Ejemplo

Tenemos que hallar:

∫√(8 - x²) dx

Solución

En este caso, vamos a aplicar directamente el resultado:

∫√(8 - x²) dx = 4[arc sen (x/√8 + (x/√8)·(√(8 - x²))/√8] + C

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Otra integral que puede ser interesante es una integral de la forma ∫√(x²-a²)dx. Con integrales de esta forma, un cambio de variable adecuado es: x = a·sec t.