Ejemplos de integración de funciones trigonométricas

 Para entender mejor lo explicado en entradas anteriores, veamos algunos ejemplos de integración de funciones trigonométricas.

Ejemplo 1

I = ∫sen³ x cos⁴ x dx = ∫sen² x cos⁴ x sen x dx = ∫(1-cos² x)(cos⁴ x)·sen x dx

Hacemos el cambio cos x = t, por lo que -sen x dx = dt. Entonces:

I = -∫(1-t²)t⁴dt = -∫t⁴dt + ∫t⁶dt = -t⁵/5 + t⁷/7 + C = (-cos⁵ x)/5 + (cos⁷ x) /7 + C

Ejemplo 2

∫dx/(cos x + cos³ x)

Como 𝜔(𝜋-x) = 𝜔·x, se hace el cambio sen x = t, por lo que dx = dt y cos² x = 1 - t². Por lo tanto:

∫dx/(cos x + cos³ x) = ∫(cos x dx)/(cos² x)(1+cos² x) = ∫dt/(1-t²)(2-t²) = 

= ∫[-1/4(1-t) - 1/4(1+t) + 1/2(1+t√2) + 1/2(1+t√2)]dt = 

= 1/4Ln|(1-t)/(1+t)| + [1/(2√2)]·Ln |(1 + t√2)/(1 - t√2)| + C = 

= (1/4)·Ln[(1 - sen x)/(1+sen x)] + (1/2√2)·Ln|(1+ √2sen x)/(1 - √2sen x)| + C

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