Método de Hermite

 El método más práctico para resolver integrales de funciones racionales cuyo denominador tenga raíces imaginarias múltiples es el método de Hermite.

Sea I = ∫[R(x)/Q(x)]dx

Hagamos:

R/Q = (X/D)' + Y/q

Siendo:

• D = m.c.d(Q, Q')
• q=Q/D
• X = polinomio de un grado inferior a D.
• Y = polinomio de un grado inferior a q.
• q es un polinomio que tiene todos los ceros (raíces) simples.

Tendremos:

∫[R/Q]dx = X/D + ∫[Y/q]dx (1)

Sea:

• Q(x) = (x-x₁)^𝛼₁...(x-xₙ)^𝛼ₙ polinomio de grado n.
• D(x) = (x-x₁)^𝛼_i-1...(x-xₙ)^𝛼_n-1 polinomio de grado n-h.
• Q/D = q = (x-x₁)...(x-xₕ) polinomio de grado h≤n.

Derivando en (1), tendremos:

R/Q = (DX' - XD')/D² + Y/q 

Como Q = qD, resulta que:

R≡ qX' - pX + DY, siendo p = D'q/D

X es un polinomio indeterminado de grado n-h-1 e Y un polinomio de grado n-1 y el número total de coeficientes indeterminados es n, y como el primer miembro es de grado n-1 se tiene el número suficiente de ecuaciones para determinarlo.

En la práctica, ponemos las raíces reales en la forma (x-𝛼)p, siendo p el grado de multiplicidad y las imaginarias [(x-𝛼)² + b²]r, siendo r el grado de multiplicidad, y como D ponemos las raíces con un grado menos y como q las raíces simples, X será un polinomio de coeficientes indeterminados y de un grado inferior a D e Y es otro polinomio de coeficientes indeterminantes y de un grado inferior a q.

Ejemplo

Tenemos que resolver la siguiente integral por el método de Hermite:

∫dx/(x-1)³(x²+1)

Solución

1/(x-1)³(x²+1) = (ax+b)/(x-1)² + (cx²+dx+e)/(x-1)(x²+1) (2)

Por lo tanto:

1/(x-1)³(x²+1) = [(x-1)²a -(ax+b)2(x-1)]/(x-1)⁴ + (cx²+dx+e)/(x-1)(x²+1)

Operando y simplificando:

[(x²+1)(x-1)a - 2(x²+1)(ax+b) + (cx²+dx+e)(x-1)]/(x-1)³(x²+1)

Igualando los numeradores:

1 = (x²+1)(x-1)a - 2(x²+1)(ax+b) + (cx²+dx+e)(x-1)

• 0 = c, a-2a-2c+d = 0 => d = a
• 0 = a -2b-2b+c + e
• -3a-2b+e = 0
• 0 = a-2b+d-2e
• e = 0
• 1=-a-2b+e
• -2b=3a
• 1=-a+3a

Por lo que:

• a = 1/2
• b = -3/4
• c= 0
• d=1/2
• e=0

Sustituyendo en (2) e integrando obtenemos:

∫dx/(x-1)³(x²+1) = (2x-3)/4(x-1)² + (1/2)∫[x/(x-1)(x²+1)]dx (3)

Resolvemos esta última integral cuyo denominador sólo tiene raíces simples por el método ya utilizado en anteriores entradas:

x/(x-1)(x²+1) = A/(x-1) + (Bx + C)/(x²+1)

• A+B = 0
• 1 = -B + C
• 0 = A -C
• C+B = 0
• C-B = 1
• 2C = 1

Por lo que:

• C = 1/2
• A = 1/2
• B = -1/2

Entonces:

∫dx/(x-1)(x²+1)  = (1/2)∫dx/(x-1) + ∫[[(-1/2)x + 1/2]/(x²+1)]dx = (1/2)·Ln(x-1) + 

(1/2)∫[(1-x)/(x²+1)]dx = (1/2)·Ln(x-1) + (1/2)·arc tg x - (1/4)·Ln(x²+1)

Luego, sustituyendo en (3):

∫dx/(x-1)³(x²+1)  = (2x-3)/4(x-1)² +  (1/4)·Ln(x-1) + (1/4)·arc tg x - (1/8)·Ln(x²+1)