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 Las ecuaciones paramétricas nos dan las rectas que pasan por un punto P(x₁, y₁, z₁), y según la ecuación normal: x = x₁ + 𝜆p y = y₁ + 𝜆q z = z₁ + 𝜆r (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z-z₁)/r Expresado en función de los cosenos directores: (x-x₁)/cos 𝛼 =  (y-y₁)/cos 𝛽 =  (z-z₁)/cos 𝛾 Para la forma ordinaria: x = az + h y = bz + k Dado un punto P(x₁, y₁, z₁) de la recta: x₁ = az₁ + h y₁ = bz₁ + k Si eliminamos h y k: x - x₁ = a(z - z₁) y - y₁ = b(z - z₁) (x - x₁)/a =  (y - y₁)/b = (z- z₁)/1 (R1) donde a y b representan los coeficientes angulares de las proyecciones de la recta sobre los planos xz e yz. Como a y b son parámetros variables, el sistema representará una radiación con centro en el punto P₁(x₁, y₁, z₁). Si tenemos otro punto P₂(x₂, y₂, z₂) que también pertenece a la recta: (x₂ - x₁)/a =  (y₂ - y₁)/b =  (z₂ - z₁)/1  (R2) Si dividimo...

 Dadas las ecuaciones paramétricas de la recta: x = x₁ + p𝜌 y = y₁ + q𝜌 z = z₁ + r𝜌 tenemos seis coeficientes: x₁, y₁, z₁, p, q, r; o bien se determinan por dos puntos fijos: x = (x₁ + 𝜆x₂)/(1 + 𝜆) y = (y₁ + 𝜆y₂)/(1 + 𝜆) z = (z₁ + 𝜆z₂)/(1 + 𝜆) obtendremos x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ En el primer caso se determinan por un punto y una dirección, y en el segundo, por dos puntos. Como una condición en el espacio da lugar a tres ecuaciones, para determinar los seis coeficientes necesitamos dos condiciones geométricas. Si consideramos la forma ordinaria x = az + h y = bz + k tendremos sólo cuatro indeterminadas a, b, h, k y como en este caso con una condición geométrica dada nos dará dos ecuaciones, necesitamos dos ecuaciones para determinar la recta. Para una recta dada en forma normal podemos definirla por la traza sobre un plano coordenado y los parámetros directores; p, q, r o los cosenos directores correspondientes. Tenemos entonces cuatro coeficientes, dos coordenadas no nulas ...

 Dados tres planos: Q = 0 Q' = 0 Q'' = 0 Por combinación lineal de Q y Q' obtenemos, siendo 𝜆 un parámetro variable del haz de planos cuya arista es la intersección de Q y Q' mediante la ecuación: Q + 𝜆Q' = 0 Si Q y Q' son paralelos, tendremos un haz de planos paralelos. Análogamente, si 𝜆 y 𝜇 son parámetros variables, la ecuación Q + 𝜆Q' + 𝜇Q'' = 0 representa una doble infinidad de planos que pasan por el punto de intersección de los tres planos Q = 0, Q' = 0, Q'' = 0, es decir, tenemos una radiación de centro en el punto común  a Q, Q', Q''. Si los tres planos son paralelos a la misma recta, este punto es impropio.

 Veamos algunos ejemplos del cálculo de volúmenes y áreas en el espacio afín. Volumen de un tetraedro Sean los vértices: A(x₁, y₁, z₁) B(x₂, y₂, z₂) C(x₃, y₃, z₃) D(x₄, y₄, z₄) El volumen, siendo los ejes rectangulares, vendrá dado por: o lo que es lo mismo: Área de un triángulo Sean los vértices: P₁(x₁, y₁, z₁) P₂(x₂, y₂, z₂) P₃(x₃, y₃, z₃) El área de los ejes rectangulares será igual a la mitad de la raíz cuadrada de la siguiente expresión :

 Dado el plano que viene definido por la ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0 o bien, por la forma hessiana: xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - 𝜌 = 0 en ejes rectangulares tendremos que: cos² 𝛼 + cos² 𝛽 + cos² 𝛾 = 1 cos 𝛼/A =  cos 𝛽/B =  cos 𝛾/C =  - 𝜌/D = 1/±√(A²+B²+C²) y con ello podemos calcular los cosenos directores de la normal del plano: cos 𝛼 = A /±√(A²+B²+C²) cos 𝛽 = B /±√(A²+B²+C²) cos 𝛾 = C /±√(A²+B²+C²) y también la distancia del origen al plano: -𝜌 =   D /±√(A²+B²+C²) Por lo tanto, la forma hessiana o ecuación normal del plano dado por Ax + By + Cz + D = 0 será: (Ax + By + Cz + D)/ ±√(A²+B²+C²) = 0

 Veamos los casos particulares más usuales. Ecuación homogénea Si empleamos las razones x/t, y/t, z/t o bien x₁/x₄, x₂/x₄, x₃/x₄ obtenemos una ecuación lineal homogénea operando: Ax₁ + Bx₂ + Cx₃ + Dx₄ = 0 donde x₁, x₂, x₃, x₄ son las coordenadas homogéneas. Ecuaciones de los planos coordenados Plano 0yz: x = 0 Plano 0xz: y = 0 Plano 0xy: z = 0 estos planos coordenados con el plano del infinito forman el tetraedro fundamental. Ecuación de un plano que pasa por el origen Ax + By + Cz = 0 Ecuaciones de los planos que son paralelos a los ejes Paralelo al eje 0z: Ax + By + D = 0 Paralelo al eje 0y: Ax + Cz + D = 0 Paralelo al eje 0x: By + Cz + D = 0 Ecuaciones de los planos que pasan por los ejes Plano que pasa por el eje 0z: Ax + By = 0 Plano que pasa por el eje 0y: Ax + Cz = 0 Plano que pasa por el eje 0x: By + Cz = 0 Ecuaciones de los planos paralelos a los coordenados Plano paralelo al eje 0yz: Ax + D = 0 Plano paralelo al eje 0xz: By + D = 0 Plano paralelo al eje 0xy: Cz + D = 0

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior . Ejemplo 1 Dados los puntos A(-2, 1, 5), B(3, 1, 1), C(2, 2, 0) tenemos que determinar la ecuación del plano que pasa por estos tres grupos. La ecuación vendrá dada por el determinante: Si desarrollamos el determinante, tenemos: que es igual a: 4x + 6y + 8z -26 = 0 Ejemplo 2 Sea la recta r de ecuaciones paramétricas x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = 1 + 2t y el punto P(0, -1, 2). Tenemos que determinar al ecuación del plano que definen r y P. Considerando un punto de la recta, por ejemplo, el correspondiente a t = 0. es decir, el P₁(2, 1, 1), el vector P₁P tiene por componentes (2, 2, -1), por tanto las ecuaciones del plano serán: x = 2 + 2s + 3t y = 1 +2t + 2s z = 1 - 1s + 2t Ejemplo 3 Dadas las rectas r y q, tal que la recta r es igual a x = 1 + t y = 2 - t z = t y la recta q es igual a x = 1 + t y = t z = t que se cortan en el punto (2, 1, 1), tenemos que hallar la ecuación del plano determinado por ellas. Por ser P(x₀, y₀...