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 Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales: m₁ = m₂ Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario. m₂ = -1/m₁ Recta paralela a una dada por un punto Si tenemos la recta de la ecuación: r: Ax + By +C = 0 y el punto A de coordenadas (x₁, y₁) y nos piden hallar la paralela a la recta en ese punto, tendremos que tener en cuenta que la recta pedida tiene igual pendiente que la recta dada, o sea: m = -A/B = m' Como además tiene que pasar por el punto A(x₁, y₁), su ecuación será: y - y₁ = -(A/B)·(x - x₁) o bien: A(x - x₁) + B(y - y₁) = 0 También se puede desarrollar vectorialmente (vectores i, j ), y hallar sus respectivas ecuaciones paramétricas. Recta perpendicular a una dada por un punto Si tenemos la recta Ax + By + C = 0, y el punto A(x₁, y₁), la pendiente de la recta pedida será: m' = -1/m = -[1/(-A/B)] = B/A y la recta que buscamos será: (y - y₁) = (B/A)(x - x₁) o bien: (x - x₁)B - (y - y₁)A = 0 También se puede hallar vecto...

 Si tenemos dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos que son iguales dos a dos por tratarse de ángulos opuestos por el vértice. Otra propiedad es que sus ángulos son suplementarios dos a dos. Como norma general, se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos formados; será un ángulo agudo y como máximo un ángulo recto. Así pues, el coseno de este ángulo estará comprendido entre 0 y 1, y por lo tanto, siempre será un número positivo. Según la expresión de las rectas, puede ser: Forma vectorial. Forma general. Forma vectorial El ángulo que forman las rectas es igual al que forman sus vectores directores: a: x = x₁ + Vt b: x = x₂ + V't siendo: V = (v₁, v₂) V' = (v'₁, v'₂) El ángulo que forman sería igual al formado por V y por V': a, b = V, V ' = 𝛼 Por el ángulo de dos vectores se tiene: cos 𝛼 = V·V' /(V·V') = (v₁v'₁ + v₂v'₂)/[√(v₁² + v₂²)·√(v'₁² + v...

 Esta entrada es continuación de la anterior . Ecuación normal de la recta Si tenemos la ecuación general de recta, podemos pasar a la ecuación normal dividiendo ésta por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes  x e y. Si la ecuación general es: Ax + By + C = 0 La ecuación normal será: (Ax + By + C)/[√(A²+B²)] = 0 A los coeficientes de la ecuación normal: A/√(A²+B²) = cos 𝛼 y B/√(A²+B²) = sen 𝛼 se les llama cosenos directores y d = |C/√(A²+B²)| es la distancia de la recta al origen de coordenadas. Por lo tanto, la ecuación es x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = d. Si la ecuación está en forma canónica: x/a + y/b = 1 entonces: a = d/(cos 𝛼) b = d/(sen 𝛼) luego: (x·cos 𝛼)/d + (y·sen 𝛼)/d = 1 los cosenos directores serán: x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = d cos 𝛼 = d/a, sen 𝛼 = d/b Ejemplo Dada la ecuación de la recta 3x + 4y - 5 = 0, tenemos que hallar la ecuación normal. Solución (3x + 4y -5)/(√(9+16)) = ...

 Ecuaciones explícitas e implícitas de la recta y - b = x·tg 𝛼 que es lo mismo que: y = x·tg 𝛼 + b (b es la ordenada en el origen) La ecuación explícita de la recta es entonces: y = mx +n donde m es igual a tg 𝛼, siendo 𝛼 el ángulo que forman la recta y el eje de abscisas. Si tenemos: y = -(A/B)x - C/B nos quedará: Ax + By + C = 0 que es la ecuación canónica de la recta. Si partimos de la ecuación canónica, siendo: a = -C/A b = -C/B nos quedará: x/a + y/b = 1 que es la ecuación de la recta en función de los segmentos que intercepta. Algunos aspectos importantes: A = 0 → recta paralela al eje x. B = 0 → recta paralela al eje y. C = 0 → recta que pasa por el origen. A = 0, C = 0 → eje x. B = 0, C = 0 → eje y. Ecuación de todas las rectas que pasan por un punto Sean (x₀, y₀) las coordenadas de un punto P. La ecuación de todas las rectas que pasan por el punto P será: y - y₀ = m(x - x₀) => A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean los puntos P₀(...

 Para calcular el ángulo que forman dos vectores libres partimos de la expresión del producto escalar: a·b = |a||b|cos( a, b ) luego, despejando cos( a, b ) = a·b /|a||b| Podemos deducirlo también si nos dan los vectores por sus coordenadas: a = (x₁, y₁) y b = (x₂, y₂) en una base ortonormal : a·b = x₁x₂ + y₁y₂ como sabemos: |a| = √(x₁² + y₁²) |b| = √(x₂² + y₂²) Entonces: cos( a, b ) = (x₁x₂ + y₁y₂)/[√(x₁² + y₁²)·√(x₂² + y₂²)] Esta expresión nos permite el cálculo del coseno que forman dos vectores en función de sus coordenadas. Ejemplo Dados los vectores c = (3, -2) d = (5, 3) Tenemos que calcular los cosenos de los ángulos que forman estos vectores. Solución Sabemos que: c·d = |c |·| d | ·cos( c, d ) entonces: cos( c, d ) = c·d /|c||d| c·d = (3, -2)·(5, 3) = 15 + (-6) = 9 |c| = √(3²+(-2)²) = √13 |d| = √(5²+3²) = √34 cos( c, d ) = 9/(√13√34) = 0,428 (aprox.) El ángulo es por tanto: arc cos 0,428 = 64º 39' (en la calculadora, cos-1)

 Si tenemos dos bases ortonormales, se verifica: | u₁ | = | u₂ | = | v₁ | = | v₂ | = 1 u₁ es perpendicular a u₂ v₁ es perpendicular a v₂ Resulta que: u₁u₁ = u₂u₂ = v₁v₁ = v₂v₂ u₁u₂ = 0 v₁v₂ = 0 Siendo (h, k) (l, m) los coordenados de v₁, v₂ respecto de {u₁, u₂} tenemos: v₁ = h u₁ + k u₂ v₂ = l u₁ + m u₂ Multiplicando cada igualdad escalarmente por u₁, u₂, tenemos: u₁v₁ = h u₁u₁ + k u₂u₁ = h u₂v₁ = h u₁u₂ + k u₂u₂ = k u₁v₂ = l u₁u₁ + m u₂u₁ = l u₂v₂ = l u₁u₂ + m u₂u₂ = m Ahora, si llamamos 𝛼 al ángulo que forman u₁ y v₁ , también será 𝛼 el ángulo de u₂ y v₂ , y el ángulo que forman u₁ y v₂ será 𝜋/2 + 𝛼 y el ángulo de v₁, u₂ será 𝜋/2 - 𝛼. Tenemos entonces: h = u₁v₁ = |u₁||v₁|cos(u₁v₁) = 1·1·cos 𝛼 k = u₂v₁ = |u₂||v₁|cos(u₂v₁) = 1·1·cos (𝜋/2 - 𝛼) = + sen 𝛼 l = u₁v₂ = |u₁||v₂|cos(u₁v₂) = 1·1·cos (𝜋/2+ 𝛼) = - sen 𝛼 m = u₂v₂ = |u₂||v₂|cos(u₂v₂) = 1·1·cos 𝛼 quedan así las ecuaciones del cambio de...

 Ya vimos anteriormente lo que era una base de un espacio vectorial . En el plano o espacio vectorial de dos dimensiones, la base está constituida por dos vectores cualesquiera no paralelos. Si los vectores base no son perpendiculares ni iguales, es una base cualquiera. Si los vectores de base son perpendiculares pero desiguales, es una base ortogonal. Si los vectores base son unitarios, normalizados pero no perpendiculares, la base es normal o normalizada. Se llama base ortonormal cuando los vectores que la constituyen son unitarios y perpendiculares. En el espacio de dos dimensiones, los vectores base se representan por i, j . Es decir: B = { i, j } i = 1· i + 0· j j = 0· i + 1· j Los coeficientes de la combinación lineal o coordenadas de los vectores base son: i = (1, 0) j = (0, 1) La representación de un vector en el sistema ortonormal será: a = a₁ i + a₂ j = (a₁, a₂)