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 Sea (R, +, ·) un cuerpo conmutativo cuyos elementos se llaman operadores o escalares y se representan por 𝛼, 𝛽, 𝛾... Sea V un conjunto cualquiera del espacio. En V definimos una ley de composición interna + y una ley de composición externa respecto al cuerpo R. Operación suma Siendo V el conjunto de vectores fijos de origen 0 y extremo cualquier punto del espacio y que representamos como 0X, 0Y , definimos como ley de composición interna la operación suma de vectores aplicada a dos elementos de V, obtenemos un vector que también es un elemento de V. Definida la ley de composición interna, se verifican también las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa ∀ 0X, 0Y ∈ V se cumple que 0X + 0Y = 0Y + 0X Propiedad asociativa ∀ 0X, 0Y, 0Z ∈ V se cumple que 0X + (0Y + 0Z) = (0X + 0Y) + 0Z Existencia del elemento neutro ∃ 00 tal que 0X + 00 = 0X Existencia del elemento simétrico ∀ 0X , ∃ 0X' siendo 0X, 0X' ∈ V tal que 0X +

 Ahora veamos algunos ejercicios de integral definida. Ejercicio 1 Tenemos que hallar por integración el área del triángulo limitado por la recta y = 3x, el eje OX y x = 5. Solución Representamos la recta y = 3x Realizamos la integral: Dando los valores del intervalo: 3[x²/2]₀⁵ = 3·(25/2) = 75/2 = 37,5 uni² Ejercicio 2 Tenemos que calcular el área limitada por la curva y = x³-6x²+8x y el eje OX desde x = 0 a x = 4 Solución Primero tenemos que calcular los puntos en los que corta la curva al eje OX. Para ello, hacemos y = 0: x³-6x²+8x = 0 x(x²-6x + 8) = 0 → x = 0 x²-6x+8 = 0 (1) Resolviendo esta ecuación, (1), obtenemos x = 2, x = 4. Representamos la curva gráficamente para tener una mejor perspectiva: Hallamos máximos y mínimos: y' = 3x²-12x+8 3x²-12x +8 = 0

 Antes de pasar al siguiente tema, veamos algunos ejercicios. Ejercicio 1 Realizar las siguientes integrales por sustitución o cambio de variable: ∫[(4x³+7)/(x⁴+7x)]dx ∫[x/(x²+1)²]dx Solución 1. Hacemos el cambio: x⁴+7x = t (4x³+7)dx = dt Nos queda: ∫[(4x³+7)/(x⁴+7x)]dx = ∫dt/t = Ln t = Ln(x⁴+7x) + C 2. Hacemos el cambio: x²+1 = t 2xdx = dt xdx = dt/2 Por lo tanto: ∫[x/(x²+1)²]dx = ∫(dt/2)/t² = ∫[1/(2t²)]dt = (1/2)∫t -2 dt = (1/2)[t -2+1 /(-2+1)] = (1/2)t-1/-1 = -1/2t = -1/2(x²+1) + C Ejercicio 2 Realizar la integración por partes de las siguientes integrales: ∫x²·cos x dx ∫Ln x dx Solución 1. Hacemos el cambio: x² = u 2xdx = du cos x dx = dv sen x = v Sustituyendo: x²·sen x - ∫sen 2x dx = x²·sen x - 2∫x·sen x dx Podemos volver a realizar ∫x·sen x dx por partes, pero os adelanto ya su valor, que

 Tenemos, cuando n tiende a infinito: lim(a₁ + a₂ + ... + aₙ) = lim(f(x₁)·Δx₁ + f(x₂)·Δx₂ + ... + f(xₙ)·Δxₙ) Para algunas funciones f(x) es integrable en (x₁,xₙ) con, cuando n tiende a infinito, lim Δxᵢ = 0 para cada i, entonces: siendo, cuando n tiende a infinito: a = lim x₁ b = lim xₙ Vamos a ver algunos ejemplos: Ejemplo 1 Calcular, cuando n tiende a infinito: lim (1 k + 2 k + ... + n k )/n k+1 Haciendo transformaciones, para facilitar los cálculos: lim (1/n)[(1/n) k + (2/n) k + ... + (n/n) k ]/1 Que es lo mismo que: que es igual a: 1/(k+1) Ejemplo 2 Calcular cuando n tiende a infinito: lim[n/(1² + n²) + n/(2²+n²) + ... + n/(n² + n²)] Dividiendo numerador y denominador por n², tenemos cuando n tiende a infinito: lim (1/n)[1/(1 + (1/n)²) + 1/(1 + (2/n))²+...+1/(1 + (n/n)²)] Aquí tenemos: xᵢ=i/n Δxᵢ = 1/n a = 0, b = 1 La integral que nos queda es entonces: cuya solución es: 𝜋/4

 Entre las integrales impropias más importantes se encuentran las integrales eulerianas. Existen dos tipos: De primera especie ꞵ(p,q), también llamada Beta de Euler: De segunda especie, Ⲅ(p), también conocida como Gamma de Euler: Los coeficientes p y q pueden considerarse como las variables independientes de las funciones eulerianas, y tienen que ser mayores que cero, aunque puede ampliarse el campo de definiciones para p y q cualesquiera. NOTA: Dada la relativa complejidad para su resolución, si queréis verlas en su totalidad podéis dejar vuestras peticiones en comentarios.

 El criterio más importante es el de comparación. Si tenemos dos funciones, f(x) y g(x), tales que 0≤f(x)≤g(x), para x>K, entonces la convergencia de de la integral Al igual Por lo tanto, como sabemos que  se deduce que si existe también existe: Convergencia absoluta La integral es absolutamente convergente si también lo es. Si cumple la convergencia absoluta, entonces también cumple la convergencia ordinaria. Ejemplo Veamos integrales de la forma tenemos: p>1→ 1/x

 Como consideramos integrales de la forma  para x > a con a > 0 tenemos: que es una función definida ∀x real [a, ∞]. Además, si existe en R el límite de F(x) cuando x tiende a ∞ y este límite es igual a 1/a, diremos que existe: Una función f(x) se dirá integrable en un intervalo [a, ∞] de R, en el que está acotada cuando existe en R Si cumple esto, diremos que la integral: es convergente. En otro caso, diremos que es divergente. Igualmente se hará cuando tengamos intervalos (-∞, a). En este caso, estudiaremos el límite: Cuando tengamos el intervalo (-∞, ∞), se estudiará el límite doble de la función. Si existe el límite doble, entonces

Para conocer la convergencia de la integral sin necesidad de obtener previamente la primitiva, podemos establecer criterios de convergencia para integrales de funciones no acotadas como consecuencia de un criterio de comparación. Si 0≤f(x)≤g(x) con lim f(x), cuando x tiende al valor a igual a lim g(x) cuando x tiende al valor a, y este valor es infinito, y la integral  es convergente, entonces la integral también es convergente. Se tendrá entonces: por lo que existe, cuando 𝜀 tiende a 0: Si existe (vamos a denominarla integral 1) se dice que la integral (vamos a denominarla integral 2) es absolutamente convergente. Si existe la integral 2, pero no la integral 1, se dice que la primera es condicionalmente divergente. La convergencia absoluta implica la  convergencia ordinaria. Las integrales más empleadas como términos de comparación son de la forma: Por lo tanto: siendo: b' = b - a Haciendo el cambio:  x-a = y => x =a→y=0, x=b→y = b-a = b' dx = dy Realizando los límites, ll