Criterios de convergencia de integrales

Para conocer la convergencia de la integral sin necesidad de obtener previamente la primitiva, podemos establecer criterios de convergencia para integrales de funciones no acotadas como consecuencia de un criterio de comparación.

Si 0≤f(x)≤g(x) con lim f(x), cuando x tiende al valor a igual a lim g(x) cuando x tiende al valor a, y este valor es infinito, y la integral 

es convergente, entonces la integral

también es convergente. Se tendrá entonces:

por lo que existe, cuando 𝜀 tiende a 0:

Si existe (vamos a denominarla integral 1)

se dice que la integral (vamos a denominarla integral 2)

es absolutamente convergente.

Si existe la integral 2, pero no la integral 1, se dice que la primera es condicionalmente divergente.

La convergencia absoluta implica la  convergencia ordinaria.

Las integrales más empleadas como términos de comparación son de la forma:

Por lo tanto:

siendo:

b' = b - a

Haciendo el cambio:

•  x-a = y => x =a→y=0, x=b→y = b-a = b'
• dx = dy

Realizando los límites, llegamos a la conclusión de que:

• n≥1: divergente
• n<1: convergente