Ejercicios y problemas de integración indefinida

 Antes de pasar al siguiente tema, veamos algunos ejercicios.

Ejercicio 1

Realizar las siguientes integrales por sustitución o cambio de variable:
  1. ∫[(4x³+7)/(x⁴+7x)]dx
  2. ∫[x/(x²+1)²]dx

Solución

1.

Hacemos el cambio:
  • x⁴+7x = t
  • (4x³+7)dx = dt
Nos queda:
  • ∫[(4x³+7)/(x⁴+7x)]dx = ∫dt/t = Ln t = Ln(x⁴+7x) + C
2.

Hacemos el cambio:
  • x²+1 = t
  • 2xdx = dt
  • xdx = dt/2
Por lo tanto:

∫[x/(x²+1)²]dx = ∫(dt/2)/t² = ∫[1/(2t²)]dt = (1/2)∫t-2dt = (1/2)[t-2+1/(-2+1)] = (1/2)t-1/-1 = -1/2t = -1/2(x²+1) + C

Ejercicio 2

Realizar la integración por partes de las siguientes integrales:
  1. ∫x²·cos x dx
  2. ∫Ln x dx

Solución

1.

Hacemos el cambio:
  • x² = u
  • 2xdx = du
  • cos x dx = dv
  • sen x = v
Sustituyendo:

x²·sen x - ∫sen 2x dx = x²·sen x - 2∫x·sen x dx

Podemos volver a realizar ∫x·sen x dx por partes, pero os adelanto ya su valor, que es -x·cos x + sen x, por lo que sustituyendo en la expresión anterior:

x²·sen x -2[-x·cos x + sen x ] = x²·sen x + 2x·cos x - 2·sen x + C
2.

Hacemos el cambio:
  • Ln x = u
  • (1/x)dx = du
  • dv = dx
  • v = x
Sustituyendo:

x·Ln x - ∫[x·(1/x)]dx = x·Ln x - ∫dx = x·Ln x - x = x·(Ln x -1) + C

Ejercicio 3

Realizar la integración de la siguiente función racional:

  • ∫[(x+3)/(x²+x-2)]dx

Solución

Descomponemos el denominador según la regla de Ruffini. Vemos  que obtenemos residuo 0 cuando una solución es igual a -2, por lo que:

x²+x-2 = (x+2)(x-1)
Entonces:
(x+3)/(x²+x-2) = A/(x+2) + B/(x-1)

Para hallar los valores de A y B, vamos dando valores a x:

A(x - 1) + B(x+2) = x+3 => Ax - A + Bx + 2B = x + 3

Sacando factor común, tenemos:
x·(A+B) + 2B - A = x + 3
Dando valores a x e igualando:
  • A + B = 1
  • -A + 2B = 3
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos que B = 4/3 y A = -1/3. Sustituyendo estos valores tenemos que:

(x+3)/(x+2)(x-1) = (-1/3)/(x+2) + (4/3)/(x-1)

Por lo tanto, la integral nos queda:

∫[(x+3)/(x+2)(x-1)]dx = ∫[(-1/3)/(x+2)]dx + ∫[(4/3)/(x-1)]dx

Si la resolvemos, tenemos:

-(1/3)·Ln(x+2) + (4/3)·Ln(x-1) + C

Ejercicio 4

Realiza la siguiente integral irracional:
  • ∫x·(a+bx)-3/2dx

Solución

  • a + bx = t²
  • dx = [2t/b]dt
Por lo que la integral nos queda:

∫{[(t²-a)/b]t-3·(2t/b)}dt = (2/b²)∫(1 - a/t²)dt = (2/b²)(t + a/t) + C

Sustituyendo valores:

(2/b²)·(bx + 2a)/(√(a + bx)) + C

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