Integración y cálculo de límites

 Tenemos, cuando n tiende a infinito:

lim(a₁ + a₂ + ... + aₙ) = lim(f(x₁)·Δx₁ + f(x₂)·Δx₂ + ... + f(xₙ)·Δxₙ)

Para algunas funciones f(x) es integrable en (x₁,xₙ) con, cuando n tiende a infinito, lim Δxᵢ = 0 para cada i, entonces:

siendo, cuando n tiende a infinito:

• a = lim x₁
• b = lim xₙ

Vamos a ver algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Calcular, cuando n tiende a infinito:

lim (1^k + 2^k + ... + n^k)/n^k+1

Haciendo transformaciones, para facilitar los cálculos:

lim (1/n)[(1/n)^k + (2/n)^k + ... + (n/n)^k]/1

Que es lo mismo que:

que es igual a:

1/(k+1)

Ejemplo 2

Calcular cuando n tiende a infinito:

lim[n/(1² + n²) + n/(2²+n²) + ... + n/(n² + n²)]

Dividiendo numerador y denominador por n², tenemos cuando n tiende a infinito:

lim (1/n)[1/(1 + (1/n)²) + 1/(1 + (2/n))²+...+1/(1 + (n/n)²)]

Aquí tenemos:

• xᵢ=i/n
• Δxᵢ = 1/n
• a = 0, b = 1

La integral que nos queda es entonces:

cuya solución es:

𝜋/4