Supermatemáticas a tu alcance

 Para poder representar  gráficamente una función, hay que tener en cuenta lo que voy a explicar en esta entrada y en las siguientes: Intervalos de existencia y regiones Los intervalos en que está definida una función se denominan intervalos de existencia o dominios. Cortes de ejes Podemos cortar el eje de ordenadas y nos sale un sistema, siendo y = f(x) y el punto en que la curva corta a dicho eje de ordenadas serán aquellos puntos en que x = 0 y al sustituir x = 0 en la función nos dará los valores de y. Para hallar los valores en los que la curva corta al eje x, hacemos y = 0, y hallamos los correspondientes valores de x. Ejemplo Hallar los puntos de corte de la curva:  y = x²-9 Hacemos x = 0: y = 9 (punto de corte con el eje OY) Para y = 0: x²-9 = 0; x²=9; x = ±3 (puntos de corte con el eje OX)

 Sea una función f(x) tal que: y = f(x) = f(a) + h·f'(a) + (1/2)·h²[f''(a + ƛh] y = f(a) + h·f'(a) es la ecuación de la tangente a f(x) en x = a. El error cometido viene dado por el término complementario, el cual mide exactamente la diferencia de ordenada entre la curva y = f(x) y la tangente. Si es f''(a) > 0 es T₁>0, a uno y otro lado del punto en un cierto entorno, la curva se conserva en él por encima de la tangente y se dice que la concavidad se dirige hacia las y positivas o concavidad. Si es f''(a)<0 y por tanto T₁<0, en un cierto entorno la curva está por debajo de la tangente y se dice que la concavidad se dirige hacia las y negativas o convexidad. Si T₁ tiene signos distintos a ambos lados del punto, se dice que es un punto de inflexión. La condición necesaria, pero no suficiente, para tal cambio de signo, es f''(a) = 0. En este caso, f''(a) = 0, no puede asegurarse nad...

 Ejercicio 1 Hemos de fabricar en chapa galvanizada un recipiente cúbico para medir el agua caída de la lluvia. Dicho recipiente (abierto por la parte superior, por supuesto) tiene que tener una capacidad de 128 litros. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener dicho recipiente para que la superficie y el costo sean mínimos? Solución Sabemos que: S = 4ab + a² V = a²·b = 128 Despejando b: b = 128/a² Sustituyendo el valor de b en la expresión del área: S = 4a(128/a²) + a² = 512/a + a² Y el siguiente paso a realizar es igualar a 0 la primera derivada: S' = -512/a² + 2a = 0; 2a = 512/a²; a³ = 256 Despejando a obtenemos: a = ∛(256) = 4·∛4 Realizamos la derivada segunda, para comprobar si es máximo o mínimo: S'' = 1024/a³ + 2 = 1024/256 + 2 = 6 > 0 Mínimo Para hallar el valor de b, sustituimos a = 4·∛4 en la fórmula de la superficie y tendremos: b = 128/(32∛2) = 4/∛2 Por lo tanto, las dimensiones para el costo mínimo son: a = 4∛4, b = 4/∛2 Ejercicio 2 Tenemos que construir un...

 Obtenidos los valores que anulan y'(x) se conoce si en cada uno alcanza la función máximo o mínimo o inflexión o no se presenta ningún caso de estos: Viendo como varía la función en el entorno de x₀. Estudiando la variación de la derivada primera. Hallando la derivada segunda cuando exista. Variación de la función Si para un h suficientemente pequeño f(x₀ + h) ≥ f(x₀) mínimo y si f(x₀ + h) ≤ f(x₀).  Variación de la derivada primera Si f(x) es continua y su derivada f'(x) pasa de positiva a negativa, es decir, si f'(x) > 0 a la izquierda de x₀ y es f'(x₀) < 0 a la derecha en un cierto entorno, la función f(x) tiene en x₀ un máximo relativo ; si la derivada pasa de negativa a positiva, la función en x₀ tiene un mínimo relativo . Mediante la derivada segunda y''(x₀) > 0 mínimo relativo y''(x₀) < 0 máximo relativo

 Los máximos relativos de una función son mayores que los otros valores de la misma en un cierto entorno cuya amplitud es distinta en cada caso, pero no deben confundirse con el máximo absoluto en [a, b]. En todo intervalo cerrado dada y(x) función continua, existe un máximo y un  mínimo absolutos. En cambio, pueden no existir máximos y mínimos relativos. Sin embargo, si el máximo o el mínimo absoluto lo alcanza una función en un punto interior al intervalo y no en los extremos ese valor también es máximo o mínimo relativo. La determinación de extremos absolutos se reduce al cálculo de los extremos relativos a condición de examinar además los valores y(a) e y(b) y los puntos donde no haya derivada. Discusión de máximos y mínimos Un método directo para calcular extremos es estudiar el crecimiento y decrecimiento . Pero también podemos hacerlo de esta otra forma (si la función es derivable): Máximos y mínimos de funciones derivables Si una función tiene en x₀ un máximo o mínimo ...

 Se dice que y(x) es creciente en un punto x₀ cuando en un cierto entorno de x₀ se verifica que y(x₀) es mayor o igual que los valores de y(x) a la izquierda de x₀ y menor o igual que los valores de y(x) a la derecha de x₀. Si, por el contrario y(x₀) es menor o igual que los valores de y(x) a la izquierda y mayor o igual que los valores de y(x) a la derecha en un cierto entorno de x₀ diremos que esta función es decreciente en x₀. Si y(x₀) es igual o mayor que los valores de y(x) a la izquierda y a la derecha de x₀ se dice que y(x₀) es un máximo relativo de la función. Si y(x₀) es igual o menor que los valores a ambos lados de x₀, y(x₀) es un mínimo relativo. Cuando los signos ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual) sean < (menor) o > (mayor) diremos que el crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo son estrictos. Los máximos y mínimos reciben el nombre conjunto de extremos bien absolutos o relativos. Criterios Una función cuya derivada no se anula en el punto x₀ es creciente ...

 Estudiando el entorno de 0. Tomemos x₀ = 0, h = x en la fórmula de Taylor , con lo que: f(x) = f(0)+f'(0)·x + (f''(0)/2!)·x² + ...+(f (n /n!)·xⁿ