Supermatemáticas a tu alcance

 Se usan muy poco. Un punto P viene definido por sus distancias m, n, p a tres rectas que forman un triángulo escribiéndose P(m, n, p). Es evidente que existe una relación entre las tres, la que resulta de expresar el área del triángulo: am + bn + cp = 2S (S es el área del triángulo ABC) NOTA: Una vez comprendido el problema, mediante el croquis previo, es conveniente pensar en cual de los dos sistemas más usuales, cartesiano o polar, se va a emprender la solución del mismo. Para ello, conviene tener en cuenta como se expresan cada una de las condiciones geométricas del enunciado en ellos y decidir en consecuencia. Se sabe que la distancia a un punto se expresa muy bien en polares, la distancia a una recta mejor en cartesianas, los ángulos constantes mejor en polares...

 Se ha visto que Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta cualquiera. Si esta recta no pasase por el origen, haciendo A/C = u, B/C = v, obtendremos ux + vy + 1 = 0 (1). Es decir, que el par (u, v) o la terna (A, B, C) en homogéneas, definiría a la recta. Por esto se dice que la recta tiene por coordenadas (u, v). Correlativamente, el punto tendrá ecuación y será mu + nv + p = 0 (2) que no es más que la relación entre las coordenadas de rectas que pasan por él. En particular pasan las u₂ = 0, v₂ = u₁ = -p/m, v₁ = 0, cuyas ecuaciones serían: (-p/m)·x + 1 = 0 (-p/n)·y + 1 = 0 que se cortan en el punto (m, n, p) (3), que se asocia a la ecuación (2) y resulta fácil el paso de cartesianas a pluckerianas (y viceversa). El plano, en estas coordenadas, viene como un conjunto de rectas y las líneas como conjuntos de sus tangentes, en contraposición al plano como conjunto de puntos y línea como conjunto de puntos que verifica su ecuación cartesi...

  Paso a cartesianos: 𝛉 = arctg(±y/x) r = a·[(sen 𝛉')/sen(𝛉 + 𝛉')] 𝛉' = arctg(±y/(a-x)) r' = a·[sen 𝛉/sen(𝛉 + 𝛉')] Paso a polares: 𝛉 = ⍵ 𝙥 = a·[sen 𝛉/sen(𝛉 + 𝛉')] Ejemplo ¿Qué representa en coordenadas angulares (𝛉 - 𝛉') = 7? tg 𝛉 = y/x, tg 𝛉' = y/(a - x) Por lo tanto: tg (𝛉 -𝛉') = (tg 𝛉 - tg 𝛉')/(1 + tg 𝛉·tg 𝛉') Desarrollando: tg(𝛉 - 𝛉') = (y/x + y/(a - x))/(1 + y²/x(a-x)) = y[(a - 2x)/x(a-x)]/[(x(a-x) + y²)/(x(a-x))] = y(a-2x)/(x(a-x)+y²) = K Tenemos entonces ya - 2yx = Kax - Kx² + Ky², por lo que: -Kx²+Ky²-2yx+Kax-ay = 0 Se trata de una hipérbola equilátera. Puedes intentar hacer lo mismo con (𝛉 + 𝛉') = 7

  Para pasar a cartesianos: r = √(x² + y²) r' = √[(a - x)² + y²] Para pasar a polares: r = 𝙥 r'² = 𝙥² + a² - 2𝙥a·cos ⍵

 Sea un sistema de referencia ortonormal  en el plano y consideremos un punto P(x, y) distinto del origen (0, 0). Este punto puede representarse por la distancia del punto al origen de coordenadas (0, 0) llamando a dicha distancia 𝙥 y por el ángulo que forma el vector OP con el eje de abscisas. al punto O se le llama polo y al eje OX eje polar. Por otro lado, dado el par (𝙥, φ) queda determinado P y por lo tanto, hay que restringir el intervalo de variación de φ para [0, 2𝜋]. El cambio de eje polar viene dado por la ecuación: ⍵ = 𝛼 + ⍵₁ La traslación del eje polar: 𝙥² = h ² + d² - 2 𝙥₁·d cos(𝜋 - 𝛼 + ⍵₁) 𝙥² = h ² + d² - 2 𝙥₁·d cos( ⍵₁ -   𝛼 ) Podemos deducir a través de la trigonometría: h/d = sen(𝛼-⍵)/sen(⍵-⍵₁) Aplicando las correspondientes propiedades trigonométricas : h/d = (sen  𝛼 · cos  ⍵ - cos  𝛼 ·sen  ⍵)/(sen  ⍵ cos  ⍵₁ - cos  ⍵ ...

 Ahora, el cambio en el origen: x = a + x', y = b + y', z = c + z' Cambios de la dirección de los ejes b = (cos 𝝰', cos 𝝱', cos 𝜸') a = (cos 𝝰, cos 𝝱, cos 𝜸) a·b = cos 𝛉 = cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' 𝛉 = 90º; cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' = 0 𝛉 = 0; cos² 𝝰 + cos² 𝝱 + cos² 𝜸 Si no son rectangulares ninguna Tras realizar las proyecciones sobre el eje x, tenemos: x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃ al igual proyectado sobre eje y, sobre el z: x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 =  x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃ x·cos 𝝀 + y + z·cos 𝘷 = x'·cos 𝝱₁ + y'·cos 𝝱₂ + z'·cos 𝝱₃ x·cos 𝛍 + y·cos 𝘷 + z = x'·cos 𝜸₁ + y'·cos 𝜸₂ + z'·cos 𝜸₃ Los nombres pueden decidirlos tú. Si tenéis alguna duda sobre como realizar proyecciones, podéis consultar este enlace de otro de mis blogs. Si son primitivos los ejes rectangulares x = x...

  En el plano Cambio de origen: x = a + x' y = b + y' Teniendo esto en cuenta, ya podemos calcular las coordenadas según los casos. Ejes cualquiera Tras realizar las proyecciones y trigonometría correspondientes: x·sen 𝛉 = x'·sen(𝛉 - 𝝰) + y'·sen(𝛉 - 𝝱) x = x'(sen(𝛉−𝛂))/sen 𝛉 + y'(sen(𝛉−𝝱))/sen 𝛉 cos(90 + 𝛉) = x'cos(90 + 𝝰) + y'·cos(90 + 𝝱) y = x'·(sen 𝝰/sen 𝛉) + y'·(sen 𝝱/sen 𝛉) x = x'(sen(𝛉 - 𝝰)/sen 𝛉) + y'(sen(𝛉 - 𝝱)/sen 𝛉) Si el primer sistema es rectangular y el segundo no lo es 𝛉 = 𝝿/2 x = x'·cos 𝝰 + y'·cos 𝝱 y = x'·sen 𝝰  + y´·sen 𝝱 Si los dos rectangulares 𝛉 = 𝛑/2, 𝝱 - 𝝰 = 𝝿/2 x = x'·cos 𝝰 - y'·sen 𝝰 y = x'·sen 𝝰  + y´·cos 𝝰 Cambio general con ejes rectangulares x = x'·cos 𝝰 - y'·sen 𝝰 + a y = x'·sen 𝝰 + y'·cos 𝝰 + b