Sistemas logarítmicos

 Cuando hay más de una incógnita afectada con la operación logaritmo, para encontrar el valor de éstas será necesaria la presencia de dos ecuaciones, originándose un sistema logarítmico.

Para resolver estos sistemas, se pueden utilizar de forma general tres métodos.

1. Transformando las ecuaciones logarítmicas en ecuaciones exponenciales.
2. Por cambio de variables.
3. Tomando antilogaritmos.

No obstante, hay sistemas que no se pueden realizar por los tres métodos; se tomará por tanto, en cada momento, aquel método que mejor se ajuste a las características del problema.

Vamos a resolver algunos ejemplos:

Ejemplo

Encontrar el valor de las variables "x" e "y" en el siguiente sistema:

log₃(x/y) = 2

2log₃x + 3log₃y = 9

Primer método

Vamos a transformar estas ecuaciones logarítmicas en ecuaciones exponenciales:

3² = x/y

3⁹ = x²·y³

De la primera ecuación obtenemos:

x = 9y (1)

Sustituimos este valor en la segunda ecuación:

3⁹= (9y)²y³ => 3⁹ = 3⁴y²·y³; 3⁹=3⁴y⁵

Despejando y:

y⁵ = 3⁹/3⁴; y⁵ = 3^(9-4); y⁵ = 3⁵

Por lo tanto:

y = 3

Sustituimos este valor en (1):

x = 3²·3→ x = 3³; x = 27

Segundo método

Aplicando en la primera ecuación la propiedad de logaritmo de un cociente tenemos:

log₃x - log₃y = 2

2log₃x + 3log₃y = 9

Realizamos un cambio de variable:

log₃x = A, log₃y = B

A - B = 2

2A + 3B = 9

Tenemos que A = 2 + B, sustituimos este valor en la segunda ecuación:

2(2 + B) + 3B = 9; 4 + 2B + 3B = 9; 5B = 9 - 4; 5B = 5

Por lo que

B = 1

Y por lo tanto:

A = 2 + B => A = 2 + 1; A = 3

Pero a nosotros no nos interesa el valor de A ni el de B; nos piden el valor de las variables "x" e "y". Así pues, nos fijamos en las igualdades:

log₃x = A y log₃y = B

Por tanto:

log₃x = 3 => 3³ = x, x = 27

log₃y = 1 => 3¹ = y; y = 3

Tercer método

En este caso, no se pueden tomar antilogaritmos directamente, ya que los segundos miembros de las dos ecuaciones son números sin expresión logarítmica.

Así pues, lo primero que se tiene que hacer es encontrar que número tiene como logaritmo en base 3 al número 2, y por otro lado, que número tiene como logaritmo en base 3 al número 9. 

log₃N = 2 => 3² = N; N = 9

Por tanto, en la primera ecuación, en lugar del 2 podemos poner su equivalente, es decir, log₃9.

log₃M = 9=> 3⁹ = M

Por tanto, en la segunda ecuación, en lugar del número 9, podemos poner su equivalente, es decir, log₃3⁹.

Con estos cambios, el sistema queda de la siguiente forma:

log₃(x/y) = log₃9

2log₃x + 3log₃y = log₃3⁹

En la segunda ecuación tenemos una suma de logaritmos que vamos a transformar:

log₃x² + log₃y³ = log₃3⁹; log₃(x²·y³) = log₃3⁹

Por lo tanto, nos queda el siguiente sistema:

log₃(x/y) = log₃9

log₃(x²·y³) = log₃3⁹

En las dos ecuaciones tomamos antilogaritmos, quedando:

x/y = 9

x²·y³ = 3⁹

De la primera ecuación, obtenemos que x = 9y; x = 3²y. Sustituimos este valor en la segunda ecuación, quedando:

 (3²y)²·y³ = 3⁹; 3⁹ = 3⁴y²·y³; 3⁹=3⁴y⁵

Obtenemos el valor de y, que es 3. Introducimos este valor de y en la expresión x = 9y, obteniendo que x = 27.